Vad derivatan säger om grafen
Där kurvan vänder är tangenten vågrät. Men inte bara där.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Derivera $$y = \frac{x^2}{e^{2x}}$$
- Varför lockar det svaret? Deriverar täljare och nämnare var för sig: $(f/g)' = f'/g'$. Det är inte kvotregeln.
- Varför lockar det svaret? Skriver om kvoten till produkten $x^2e^{2x}$ i stället för $x^2e^{-2x}$. Exponentens tecken tappas, och då blir andra termen fel.
- Varför lockar det svaret? Kvotregeln är rätt uppställd, men nämnaren $(e^{2x})^2$ förkortas aldrig mot faktorn $e^{2x}$ i täljaren.
Som produkt. $y = x^2 e^{-2x}$, så produktregeln ger $$y' = 2x e^{-2x} + x^2 \cdot (-2)e^{-2x} = e^{-2x}(2x - 2x^2)$$
Som kvot. Kvotregeln ger $$y' = \frac{2x \cdot e^{2x} - x^2 \cdot 2e^{2x}}{\left(e^{2x}\right)^2} = \frac{e^{2x}(2x - 2x^2)}{e^{4x}} = \frac{2x - 2x^2}{e^{2x}}$$
Samma svar. Förkortningen i sista steget är det som skiljer C från D.
Notera: $y' = 2x(1-x)e^{-2x}$ är noll för $x = 0$ och $x = 1$. Håll kvar det — det är precis den sortens uttryck vi ska tolka resten av lektionen.
Uppvärmningen slutade med ett uttryck, $y' = 2x(1 - x)e^{-2x}$, som är noll för $x = 0$ och $x = 1$. Den här lektionen handlar om vad sådana nollställen säger.
Du vet sedan lektion 6 att derivatan är kurvans lutning. Tecknet på den talar om åt vilket håll kurvan går:
| $f'(x)$ | kurvan |
|---|---|
| $> 0$ | är växande, går uppåt åt höger |
| $< 0$ | är avtagande, går nedåt åt höger |
| $= 0$ | är vågrät, just i den punkten |
Där kurvan har en topp eller en dal är tangenten vågrät, alltså $f'(x) = 0$. Sådana punkter kallas stationära punkter.
Men bilden visar en fälla. Derivatan är noll i båda de markerade punkterna, och bara den ena är en extrempunkt. Vid $x = 2$ planar kurvan ut och fortsätter sedan uppåt. Det är en terrasspunkt.
- Derivera.
- Lös $f'(x) = 0$. Det ger kandidaterna.
- Avgör karaktären för varje kandidat: max, min eller terrass.
Steg 3 är inte gratis. $f'(a) = 0$ betyder bara att tangenten är vågrät, inte att kurvan vänder.
Teckentabell och andraderivata
Två sätt att se om kurvan vänder.
En teckentabell visar hur kurvan går, bit för bit. Skriv derivatans nollställen på en rad, välj ett testvärde i varje intervall mellan dem, och räkna ut tecknet på $f'$ där.
Ett byte från minus till plus är en dal, en minimipunkt. Från plus till minus är en topp. Samma tecken på båda sidor är en terrass.
En komplett teckentabell
Bestäm extrempunkterna till $f(x) = x^3 - 3x^2$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, som är noll för $x = 0$ och $x = 2$.
Testvärden $-1$, $1$ och $3$, ett i varje intervall:
$x$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ ↗ max ↘ min ↗ Funktionsvärdena: $f(0) = 0$ och $f(2) = 8 - 12 = -4$.
Maximipunkt $(0, 0)$ och minimipunkt $(2, -4)$.
Andraderivatan
Andraderivatan $f''(x)$ är derivatan av $f'(x)$. Den säger hur lutningen ändras. I en dal går lutningen från negativ till positiv, så den ökar och $f'' > 0$. I en topp minskar den.
| $f''(a)$ | slutsats |
|---|---|
| $> 0$ | minimipunkt |
| $< 0$ | maximipunkt |
| $= 0$ | ingen slutsats |
För $f(x) = x^3 - 3x^2$ är $f''(x) = 6x - 6$. Då är $f''(0) = -6 < 0$, max, och $f''(2) = 6 > 0$, min. Samma svar som tabellen.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
En funktion $f$ har derivatan $$f'(x) = (x+1)(x-3)^2$$
Vilken karaktär har punkten där $x = 3$?
- Varför lockar det svaret? Antar att varje nollställe till $f'$ är en extrempunkt. Men $f'$ är positiv på båda sidor om $x = 3$, så kurvan vänder inte där.
- Varför lockar det svaret? Samma antagande. Kurvan växer efter $x = 3$, men den växte redan innan.
- Varför lockar det svaret? Här är $f''(3) = 0$, så andraderivatan ger ingenting. Det är teckentabellen som avgör, och den räcker.
Faktorn $(x-3)^2$ är en kvadrat, och den byter aldrig tecken. Nära $x = 3$ är dessutom $x + 1 > 0$.
| $x$ | $x+1$ | $(x-3)^2$ | $f'(x)$ |
|---|---|---|---|
| $2{,}9$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $3$ | $+$ | $0$ | $0$ |
| $3{,}1$ | $+$ | $+$ | $+$ |
Derivatan är positiv före och efter. Kurvan växer hela vägen och planar bara ut ett ögonblick: en terrasspunkt.
Andraderivatan är $f''(x) = (x-3)^2 + 2(x+1)(x-3)$, så $f''(3) = 0$. Den ger ingen information alls. Jämför $x = -1$: där byter faktorn $x + 1$ tecken, och det är en minimipunkt.
Största och minsta värde
På ett intervall kan svaret gömma sig i kanten.
$f(x) = xe^{-x}$ har derivatan $$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$ Eftersom $e^{-x}$ aldrig är noll ger $f'(x) = 0$ bara $x = 1$. Och $f''(1) = -e^{-1} < 0$, så det är en maximipunkt, $\left(1, \dfrac{1}{e}\right)$.
Men frågar man efter största och minsta värde på ett intervall räcker det inte med derivatans nollställen. Ändpunkterna är också kandidater, och där behöver tangenten inte alls vara vågrät.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Bestäm det minsta värde funktionen $$f(x) = x e^{-x}$$ antar i intervallet $0 \le x \le 3$.
- Varför lockar det svaret? Prövar bara den högra ändpunkten, i tron att faktorn $e^{-x}$ gör funktionen avtagande hela vägen. Men den växer på $0 \le x \le 1$.
- Varför lockar det svaret? Svarar med värdet i den stationära punkten utan att kontrollera vilken sort den är. Den är ett maximum, alltså det största värdet.
- Varför lockar det svaret? På hela tallinjen saknar funktionen minsta värde, men på ett slutet intervall som $0 \le x \le 3$ finns alltid både största och minsta värde.
Tre kandidater, inte en:
| $x$ | varför kandidat | $f(x)$ |
|---|---|---|
| $0$ | vänster ändpunkt | $0$ ← minst |
| $1$ | $f'(1) = 0$ | $1/e \approx 0{,}37$ ← störst |
| $3$ | höger ändpunkt | $3e^{-3} \approx 0{,}15$ |
Minsta värdet är $0$ och antas i ändpunkten $x = 0$, där tangenten inte är vågrät alls. Derivatan hittar den aldrig.
Största värdet är $1/e$, i den stationära punkten. Alternativ C är alltså rätt svar på fel fråga.
- Hitta de stationära punkterna inuti intervallet.
- Räkna ut $f$ i dem och i båda ändpunkterna.
- Det största av värdena är största värdet, det minsta är minsta värdet.
Du behöver inte avgöra karaktären när frågan bara gäller största och minsta värde. Det räcker att jämföra funktionsvärdena.
Två kapitel, samma maximum
Bestäm största värdet av $f(x) = \sin x + \cos x$ på intervallet $0 \le x \le \pi$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$f'(x) = \cos x - \sin x = 0$ ger $\tan x = 1$, alltså $x = \dfrac{\pi}{4}$ i intervallet.
Kandidaterna: $f(0) = 1$, $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2} = \sqrt2$ och $f(\pi) = -1$.
Kontroll med kapitel 1: $\sin x + \cos x = \sqrt2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$, med amplituden $\sqrt2$.
Största värdet är $\sqrt2$, i $x = \dfrac{\pi}{4}$. (Minsta är $-1$, i ändpunkten $x = \pi$.)
Derivatan som förändringshastighet
Derivatan av en modell har en enhet.
När en funktion är en modell av något verkligt är derivatan ett mått på hur snabbt storheten ändras just då. Och den har en enhet: $f$:s enhet delat med $x$:s enhet.
| $f$ mäter | $x$ mäter | $f'$ mäter |
|---|---|---|
| kronor | timmar | kronor per timme |
| centimeter | sekunder | cm/s, en hastighet |
| °C | minuter | °C per minut |
Två saker ska läsas av samtidigt: storleken säger hur snabbt, och tecknet säger åt vilket håll. $f' > 0$ växer, $f' < 0$ avtar.
En vikt i en fjäder
En vikt gungar i en fjäder så att dess höjd över jämviktsläget är $y = -3\cos\left(\dfrac{10\pi}{4}t\right)$ cm efter $t$ sekunder. Hur fort rör den sig efter $2{,}5$ sekunder, och vilken är den största farten?
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Kedjeregeln med inre derivatan $\dfrac{10\pi}{4}$: $$y' = 3 \cdot \frac{10\pi}{4}\sin\left(\frac{10\pi}{4}t\right) = 7{,}5\pi\sin\left(\frac{10\pi}{4}t\right)$$
$y'(2{,}5) = 7{,}5\pi\sin(6{,}25\pi) = 7{,}5\pi\sin\dfrac{\pi}{4} \approx 16{,}7$ cm/s. Positivt, alltså på väg uppåt.
Största farten: sinus är som störst $1$, så $7{,}5\pi \approx 24$ cm/s. Ingen mer derivering behövs, det är amplituden hos $y'$.
$16{,}7$ cm/s uppåt efter $2{,}5$ s. Största farten är ungefär $24$ cm/s.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Värdet på en aktie beskrivs av $$f(x) = x^2 \cdot 0{,}6^x + 4$$ där $f(x)$ är värdet i kronor och $x$ är antal timmar efter börsens öppnande.
Ett digitalt verktyg ger $f(7) \approx 5{,}4$ och $f'(7) \approx -0{,}31$.
Vad betyder $f'(7) \approx -0{,}31$?
- Varför lockar det svaret? Förväxlar f′ med f. Värdet efter 7 timmar är 5,4 kr — derivatan är något helt annat än funktionsvärdet.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop momentan förändringshastighet med total förändring. Derivatan gäller ögonblicket x = 7, inte hela intervallet 0 till 7.
- Varför lockar det svaret? Läser negativ derivata som minimipunkt. I ett minimum är derivatan noll — negativ derivata betyder tvärtom att kurvan fortfarande faller.
Derivatan är en hastighet, och enheten följer med:
Tecknet är negativt, alltså minskar värdet. Storleken $0{,}31$ säger hur snabbt: knappt en trettiondels krona per minut, just då.
Tre skillnader att hålla isär:
| uttryck | betyder |
|---|---|
| $f(7) \approx 5{,}4$ | värdet vid tidpunkten |
| $f'(7) \approx -0{,}31$ | hastigheten vid tidpunkten |
| $f(7) - f(0)$ | total förändring över intervallet |
Alternativ D beskriver $f'(x) = 0$, inte $f'(x) < 0$.
Kedjeregeln mellan två hastigheter
Du vet hur fort radien växer. Hur fort växer arean?
Ofta känner man en hastighet och söker en annan. Kedjeregeln binder ihop dem genom ett mellanled: $$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$$ Mellanledet $\dfrac{dA}{dr}$ får du genom att derivera formeln som kopplar ihop storheterna.
Ett växande hudutslag
Ett cirkelformat hudutslag växer så att radien ökar med $0{,}5$ cm per dygn. Hur snabbt växer arean när radien är $1{,}5$ cm?
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Given hastighet: $\dfrac{dr}{dt} = 0{,}5$ cm/dygn. Sökt: $\dfrac{dA}{dt}$.
Mellanledet: $A = \pi r^2$ ger $\dfrac{dA}{dr} = 2\pi r$, som är $3\pi$ när $r = 1{,}5$.
- $$\frac{dA}{dt} = 3\pi \cdot 0{,}5 \approx 4{,}7 \text{ cm}^2\text{/dygn}$$
Arean växer med ungefär $4{,}7$ cm² per dygn.
Konstant radiehastighet, växande areahastighet
Tryck Spela. Radien växer lika mycket varje sekund, så dess graf är en rät linje. Men arean växer allt snabbare. Varför? Svaret står i formeln $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \dfrac{dr}{dt}$: den ena faktorn står still, den andra växer med $r$.
Dra sedan $dr/dt$ under noll. Cirkeln krymper, och $dA/dt$ blir negativ.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
En snöskulptur har formen av ett klot och smälter så att radien minskar med $2$ mm/h.
Med vilken hastighet ändras volymen när radien är $5$ dm? Klotets volym är $V = \dfrac{4\pi r^3}{3}$.
- Varför lockar det svaret? Räknar med dr/dt = −2 utan att växla enhet. 2 mm är 0,02 dm, så svaret blir 100 gånger för stort.
- Varför lockar det svaret? Multiplicerar volymen V(5) med radiehastigheten i stället för derivatan V′(5). Rätt struktur, fel funktion insatt.
- Varför lockar det svaret? Svarar med dV/dr = 4πr² och stannar där. Kedjeregelns andra faktor används aldrig, så tecknet blir dessutom fel.
Given hastighet, omräknad: $\dfrac{dr}{dt} = -2 \text{ mm/h} = -0{,}02$ dm/h.
Mellanledet: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$, och vid $r = 5$ blir det $4\pi \cdot 25 = 100\pi \approx 314$.
Volymen minskar med $6{,}3$ dm³/h. Minustecknet kommer helt och hållet från $dr/dt$ — smältningen.
Rimlighet: klotet har volymen $\frac{4\pi \cdot 125}{3} \approx 524$ dm³. Att tappa $628$ dm³ på en timme (alternativ A) är mer än hela klotet.
Sammanfattning
- $f' > 0$: växande. $f' < 0$: avtagande. $f' = 0$: stationär punkt, en kandidat.
- En stationär punkt kan vara max, min eller terrasspunkt. Teckentabellen avgör alltid.
- $f''(a) > 0$ min, $f''(a) < 0$ max, $f''(a) = 0$ ingen slutsats.
- Största och minsta värde på ett intervall: jämför stationära punkter och ändpunkter.
- $f'(a)$ är en förändringshastighet med enhet: $f$:s enhet per $x$:s enhet.
- Två hastigheter kopplas ihop med kedjeregeln, $\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{dA}{dr} \cdot \dfrac{dr}{dt}$.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Sant eller falskt?
”Om $f'(a) = 0$ så har $f$ en maximi- eller minimipunkt i $x = a$.” Bevis eller motexempel?
Ett sätt att tänka
Falskt. $f(x) = x^3$ har $f'(0) = 0$, men origo är en terrasspunkt. $f'(a) = 0$ krävs för en extrempunkt inuti ett intervall, men det räcker inte. Karaktären avgörs av teckentabellen.
Rita f ur f′
En funktion har derivatan $f'(x) = x(x - 2)^2$. Skissa en möjlig graf av $f$. Kan två olika grafer båda vara rätt?
Ett sätt att tänka
$(x - 2)^2 \ge 0$, så tecknet styrs av faktorn $x$. Kurvan avtar för $x < 0$, har ett minimum i $0$, växer sedan och planar ut i en terrass vid $x = 2$. Ja, alla rätta grafer är samma kurva förskjuten i höjdled. Derivatan bestämmer formen men inte höjden.
Oljefläcken
En cirkelformad oljefläck växer så att radien ökar med $3$ m/h. Växer arean med konstant hastighet? Hur snabbt växer den när $r = 10$ m?
Ett sätt att tänka
$\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot 3$, som vid $r = 10$ är $60\pi \approx 188$ m²/h. Nej, inte konstant: ju större fläck, desto fortare växer arean. Kanten, omkretsen $2\pi r$, är det som växer utåt, och den blir längre.
En kurva som beter sig underligt
Bestäm extrempunkterna till $y = \dfrac{2 - x}{x^3}$. Vad händer med kurvan nära $x = 0$?
Ett sätt att tänka
Skriv $y = 2x^{-3} - x^{-2}$, så är $y' = -6x^{-4} + 2x^{-3} = \dfrac{2x - 6}{x^4}$. Noll för $x = 3$. Nämnaren $x^4$ är positiv, så tecknet styrs av $2x - 6$: minus före $3$ och plus efter. Minimipunkt $\left(3, -\dfrac{1}{27}\right)$. Nära $x = 0$ rusar kurvan iväg mot oändligheten, en lodrät asymptot. Det är ämnet för nästa lektion.