Vad derivatan är
Lägg en linjal mot kurvan. Hur mycket lutar den?
Derivatan av $y = f(x)$ skrivs $f'(x)$. Värdet $f'(a)$ är lutningen hos kurvan där $x = a$, samma sak som tangentens lutning där.
Positiv derivata: kurvan stiger. Negativ: den faller. Noll: den är vågrät, just i den punkten.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Betrakta kurvan $y = \sin x$ på intervallet $0 \le x \le 2\pi$.
För vilket $x$ är derivatan störst?
- Varför lockar det svaret? Förväxlar funktionens maximum med derivatans. Där kurvan är högst är den vågrät, alltså är derivatan noll — inte störst. Avsnittets centrala missförstånd.
- Varför lockar det svaret? Här är kurvan brantast nedåt. Lutningen är −1, alltså den MINSTA derivatan, inte den största.
- Varför lockar det svaret? Förväxlar minimum med derivatans minimum — samma fel som B, spegelvänt.
Derivatan är lutningen, inte höjden.
| $x$ | kurvan | lutningen |
|---|---|---|
| $0$ | på väg upp, brantast | $+1$ ← störst |
| $\pi/2$ | högst upp | $0$ |
| $\pi$ | på väg ner, brantast | $-1$ |
| $3\pi/2$ | längst ner | $0$ |
I toppen är kurvan vågrät. Där är derivatan noll, inte maximal.
Lutningarna $1, 0, -1, 0, 1$ är precis värdena för $\cos x$. Det är ingen slump — vi bevisar det strax.
| funktion | derivata |
|---|---|
| $x^a$ | $a x^{a-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{kx}$ | $k e^{kx}$ |
| $a^x \; (a > 0)$ | $a^x \ln a$ |
| $k \cdot f(x)$ | $k \cdot f'(x)$ |
| $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ |
I dag tillkommer två rader: $\sin x$ och $\cos x$.
Repetera Derivatans definition
Lutningen mellan två punkter på kurvan, $x$ och $x + h$, är $\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Låt $h$ krympa mot noll, så blir sekanten en tangent: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Alla deriveringsregler kommer ur den här definitionen. Exempel: $f(x) = x^2$ ger $\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x + h \to 2x$.
Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$
Lutningarna på sinuskurvan är värdena för cosinus.
Mät lutningen på $y = \sin x$ på några ställen:
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| lutning | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
Känner du igen talen? Det är värdena för $\cos x$.
Lutningen ritar cos x
Dra långsamt i $x$ från $0$ till $2\pi$. Den undre kurvan byggs av uppmätta lutningar, inte av någon formel. Stanna vid $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$ och $\dfrac{3\pi}{2}$ och läs av lutningen. Tryck sist på Lägg cos x ovanpå.
Gäller bara när $x$ mäts i radianer.
Minustecknet i den andra raden syns i kurvan: när $\sin x > 0$, i början av varvet, är cosinuskurvan på väg nedåt.
Derivera fyra gånger, så är du tillbaka där du började: $$\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$$
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Derivatan av $\sin x$ är $\cos x$.
Under vilken förutsättning gäller det?
- Varför lockar det svaret? Tror att vinkelmåttet bara är ett skrivsätt. Men gränsvärdet sin h / h → 1 gäller bara i radianer — i grader blir det π/180.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop med definitionsmängd. Formeln gäller för alla reella x.
- Varför lockar det svaret? Tänker på grundekvationernas intervall. Derivatan bryr sig inte om varv.
Härledningen vilar på $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$, och det gränsvärdet gäller bara när $h$ mäts i radianer.
Räknar man i grader blir det $\dfrac{\pi}{180}$ i stället, och då gäller
Alla deriveringsregler i kapitel 2 förutsätter radianer. Det är därför kapitel 1 slutade där det gjorde.
För den nyfikne Varför derivatan blir cos x
Med definitionen och additionsformeln från lektion 1.2: $$\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$$ När $h \to 0$, med $h$ i radianer, gäller $$\frac{\cos h - 1}{h} \to 0 \qquad \frac{\sin h}{h} \to 1$$ Det andra gränsvärdet säger att för små vinklar är bågen och höjden nästan lika långa, och det stämmer bara när vinkeln mäts som båglängd. Kvar blir $\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$.
Derivera en kombination
Derivera $y = 3\sin x - 2\cos x$ och bestäm lutningen där $x = \dfrac{\pi}{2}$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Konstanter följer med, och termer deriveras var för sig: $$y' = 3\cos x - 2 \cdot (-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$$
Sätt in $x = \dfrac{\pi}{2}$: $3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$.
$y' = 3\cos x + 2\sin x$, och lutningen är $2$ där $x = \dfrac{\pi}{2}$.
Sammansatta funktioner
En funktion inuti en annan.
Funktioner som $\sin 3x$, $(e^x + 1)^3$ och $\cos^2 x$ är byggda av två funktioner, en efter en. Först räknas en inre funktion $z = g(x)$, sedan sätts resultatet in i en yttre $y = f(z)$.
Tänk på det som en maskin i två steg.
| sammansatt | yttre $f(z)$ | inre $z = g(x)$ |
|---|---|---|
| $\sin 3x$ | $\sin z$ | $3x$ |
| $(e^x + 1)^3$ | $z^3$ | $e^x + 1$ |
| $\cos^2 x = (\cos x)^2$ | $z^2$ | $\cos x$ |
| $e^{1 - 4x}$ | $e^z$ | $1 - 4x$ |
Knepet för att hitta dem: vad gör du först med $x$ om du ska räkna ut värdet? Det är den inre funktionen.
Kedjeregeln
Yttre derivatan gånger inre derivatan.
Yttre derivatan (med den inre funktionen orörd inuti) gånger inre derivatan. Samma sak skrivet med $z = g(x)$: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} \cdot \dfrac{dz}{dx}$.
Två första exempel
Derivera a) $y = \sin 3x$ b) $y = 2(3x - 4)^5$
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
a) Yttre $\sin z$ med derivata $\cos z$. Inre $z = 3x$ med derivata $3$. $$y' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$$
b) Yttre $2z^5$ med derivata $10z^4$. Inre $z = 3x - 4$ med derivata $3$. $$y' = 10(3x - 4)^4 \cdot 3 = 30(3x - 4)^4$$
a) $3\cos 3x$ b) $30(3x - 4)^4$
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Derivera $$y = \sin 5x$$
- Varför lockar det svaret? Glömmer den inre derivatan. Kedjeregelns enda vanliga fel — och det som kostar flest poäng i hela kapitlet.
- Varför lockar det svaret? Flyttar ut femman ur argumentet. Men 5x sitter inuti sinus och kan inte brytas ut.
- Varför lockar det svaret? Deriverar x till 1 och tappar bort att hela 5x är argumentet.
Yttre funktion $\sin z$, inre funktion $z = 5x$.
Kontroll: $\sin 5x$ svänger fem gånger så tätt som $\sin x$, alltså är lutningen fem gånger så brant. Faktorn $5$ måste vara där.
Med exponentialfunktioner
Regeln $D\,e^{kx} = k e^{kx}$ från tidigare är kedjeregeln med inre funktion $kx$. Samma sak fungerar för vilken exponent som helst: $$y = 2e^{1 - 4x} \quad\Longrightarrow\quad y' = 2e^{1 - 4x} \cdot (-4) = -8e^{1 - 4x}$$ Exponenten ändras inte när du deriverar $e^z$. Det är bara faktorn framför som ändras, och den inre derivatan kan vara negativ.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Derivera $$y = 4e^{2-3x}$$
- Varför lockar det svaret? Glömmer den inre derivatan helt — behandlar exponenten som om den vore bara x.
- Varför lockar det svaret? Hittar faktorn 3 men tappar minustecknet. Inre derivatan av 2 − 3x är −3, inte 3.
- Varför lockar det svaret? Deriverar exponenten i stället för att låta den stå kvar. Exponenten ändras aldrig när man deriverar e i något.
Yttre: $4e^z$, med derivata $4e^z$. Inre: $z = 2 - 3x$, med $z' = -3$.
Exponenten $2 - 3x$ står kvar oförändrad. Det är bara faktorn framför som ändras.
Kontroll: $y$ är avtagande, eftersom exponenten minskar när $x$ växer. Alltså måste $y'$ vara negativ — det utesluter A och B direkt.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Derivera $$y = \cos^2 x$$
- Varför lockar det svaret? Deriverar bara den yttre kvadraten och glömmer den inre funktionen cos x.
- Varför lockar det svaret? Rätt struktur men tappar minustecknet från derivatan av cos x.
- Varför lockar det svaret? Deriverar den inre funktionen men glömmer den yttre — blandar ihop vilken del som ska stå kvar.
Skriv om: $y = (\cos x)^2$. Yttre $z^2$, inre $z = \cos x$.
Med formeln för dubbla vinkeln från lektion 2 kan det skrivas $$y' = -\sin 2x$$
Kontroll: $\cos^2 x$ har maximum vid $x = 0$, och där är $-\sin 0 = 0$ ✓
Kedjeregeln två gånger
Derivera $y = \sin^5 2x$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Skriv som $y = (\sin 2x)^5$. Yttersta funktionen är $z^5$, och den inre $z = \sin 2x$ är själv sammansatt.
Yttre derivatan: $5(\sin 2x)^4$.
Inre derivatan, med kedjeregeln en gång till: $D\sin 2x = \cos 2x \cdot 2$.
Multiplicera: $y' = 5\sin^4 2x \cdot 2\cos 2x$.
För den nyfikne Varför man multiplicerar
Tänk på kugghjul. Om $z$ ändras $3$ gånger så fort som $x$, och $y$ ändras $2$ gånger så fort som $z$, då ändras $y$ $2 \cdot 3 = 6$ gånger så fort som $x$. Derivator är ändringstakter, och ändringstakter i en kedja multipliceras: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}$$
Numerisk ekvationslösning
När en ekvation inte går att lösa exakt, gissa smart och förbättra.
Ekvationen $\cos x = x$ går inte att lösa med någon formel. Men den har en lösning: kurvan $y = \cos x$ och linjen $y = x$ skär varandra någonstans mellan $0$ och $1$. En numerisk metod hittar den med så många decimaler du vill.
Skriv ekvationen som $f(x) = 0$, här $f(x) = \cos x - x$.
Intervallhalvering
Hitta lösningen till $\cos x - x = 0$ genom att halvera intervallet $[0, 1]$ upprepade gånger.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$f(0) = 1 > 0$ och $f(1) \approx -0{,}46 < 0$. Tecknet byts, så lösningen ligger mellan $0$ och $1$.
Mittpunkten $0{,}5$: $f(0{,}5) \approx 0{,}38 > 0$. Lösningen ligger i $[0{,}5;\ 1]$.
Mittpunkten $0{,}75$: $f(0{,}75) \approx -0{,}02 < 0$. Nu $[0{,}5;\ 0{,}75]$.
Fortsätt: $[0{,}625;\ 0{,}75]$, $[0{,}6875;\ 0{,}75]$, $[0{,}71875;\ 0{,}75]$ … Varje steg halverar osäkerheten. Det är lätt att programmera.
För den nyfikne Newton-Raphsons metod, där derivatan gör jobbet
En snabbare metod använder derivatan. Stå i en gissning $x_n$, följ tangenten ned till $x$-axeln, och ta den punkten som nästa gissning: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ För $f(x) = \cos x - x$ är $f'(x) = -\sin x - 1$. Från $x_0 = 1$ får man $0{,}7504$, sedan $0{,}7391$, sedan $0{,}739085$. Antalet rätta decimaler ungefär fördubblas i varje steg.
Sammanfattning
- Derivatan $f'(a)$ är kurvans lutning i punkten, inte dess höjd.
- $D\sin x = \cos x$ och $D\cos x = -\sin x$, bara i radianer.
- En sammansatt funktion $f(g(x))$ har en inre funktion (det du gör först med $x$) och en yttre.
- Kedjeregeln: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, yttre derivatan gånger inre derivatan.
- $D\,e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)$. Exponenten står kvar.
- Kontrollera tecknet: växande funktion, positiv derivata.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Därför radianer
Om $x$-axeln graderas i grader i stället för radianer, blir lutningen hos $y = \sin x$ i origo större eller mindre än $1$? Ungefär hur mycket?
Ett sätt att tänka
Mycket mindre. I grader sträcks kurvan ut i sidled med faktorn $\dfrac{180}{\pi} \approx 57$, så lutningen i origo blir $\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}017$. Derivatan skulle bli $\dfrac{\pi}{180}\cos x$. Därför används radianer.
Två snarlika funktioner
Derivera $y = \sin(x^2)$ och $y = \sin^2 x$. Varför blir svaren olika?
Ett sätt att tänka
$D\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$: inre $x^2$, yttre sinus. $D\sin^2 x = 2\sin x\cos x$: inre sinus, yttre kvadraten. Den senare är dessutom $\sin 2x$, dubbla vinkeln från kapitel 1. Frågan som avgör är: vad görs först med $x$?
Hur brant kan den bli?
Hur stor kan lutningen på kurvan $y = \sin 5x$ som mest bli, och var?
Ett sätt att tänka
$y' = 5\cos 5x$, som störst $5$ där $\cos 5x = 1$, till exempel i origo. Amplituden är fortfarande $1$, men samma höjd klaras av på en femtedels bredd, alltså fem gånger brantare.
Hitta felet i potensregeln
En elev deriverar $y = e^{3x}$ och får $y' = 3x \cdot e^{3x - 1}$. Vilken regel har eleven försökt använda, och varför gäller den inte här?
Ett sätt att tänka
Potensregeln $D\,x^n = nx^{n-1}$ kräver att basen är variabel och exponenten konstant. Här är det tvärtom. Rätt är kedjeregeln: $y' = 3e^{3x}$. Fråga dig: var sitter $x$, i basen eller i exponenten?
Baklänges
Hitta en funktion vars derivata är $\cos 4x$. Hur kontrollerar du svaret?
Ett sätt att tänka
$y = \dfrac{1}{4}\sin 4x$ (plus en valfri konstant). Det vanliga första försöket $\sin 4x$ ger $4\cos 4x$, fyra gånger för mycket. Kontrollen är alltid att derivera ditt svar. Det här är en försmak av primitiva funktioner i kapitel 3.