Formler
Alla formler i kursen på ett ställe. Klicka på en formel för att komma till avsnittet där den förklaras.
1.1 Trigonometri och enhetscirkeln
Sinus, cosinus och tangens i en rätvinklig triangel
$$\sin v = \frac{a}{c} \qquad \cos v = \frac{b}{c} \qquad \tan v = \frac{a}{b}$$
Perioden
$$\sin(v + n \cdot 360^\circ) = \sin v \qquad \cos(v + n \cdot 360^\circ) = \cos v$$ $$\tan(v + n \cdot 180^\circ) = \tan v$$
Grundekvationen för sinus
$$\sin v = c \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} v = v_1 + n \cdot 360^\circ \\ v = (180^\circ - v_1) + n \cdot 360^\circ \end{cases}$$
Grundekvationen för cosinus och tangens
$$\cos v = c \quad\Longleftrightarrow\quad v = \pm v_1 + n \cdot 360^\circ, \qquad v_1 = \arccos c$$ $$\tan v = c \quad\Longleftrightarrow\quad v = v_1 + n \cdot 180^\circ, \qquad v_1 = \arctan c$$
Symmetrierna i enhetscirkeln
$$\sin(180^\circ - v) = \sin v \qquad \cos(180^\circ - v) = -\cos v$$ $$\sin(180^\circ + v) = -\sin v \qquad \cos(180^\circ + v) = -\cos v$$ $$\sin(-v) = -\sin v \qquad \cos(-v) = \cos v$$
Exakta värden
| $v$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin v$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos v$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan v$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
1.2 Trigonometriska formler
Trigonometriska ettan
$$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$$
Additions- och subtraktionsformlerna
$$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$$ $$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$$ $$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$$ $$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$$
Formler för dubbla vinkeln
$$\sin 2v = 2 \sin v \cos v$$ $$\cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v = 2\cos^2 v - 1 = 1 - 2\sin^2 v$$
Amplitud och period
$$y = A \sin kx \qquad\text{och}\qquad y = A \cos kx$$ $$\text{amplitud} = |A| \qquad\qquad \text{period} = \frac{360^\circ}{k}$$
1.3 Trigonometriska funktioner
Standardformen och dess fyra konstanter
$$y = A\sin k(x + v) + B \qquad y = A\cos k(x + v) + B$$
| konstant | betydelse |
|---|---|
| $\lvert A \rvert$ | amplitud $= \dfrac{\text{största} - \text{minsta}}{2}$ |
| $k$ | period $= \dfrac{360^\circ}{k}$ |
| $v$ | förskjutning i $x$-led: vänster om $v > 0$, höger om $v < 0$ |
| $B$ | förskjutning i $y$-led, mittlinjen $y = B$ |
Summan av sinus och cosinus
$$a\sin x + b\cos x = c\sin(x + v) \quad (a > 0)$$ $$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \tan v = \frac{b}{a}$$
Tangensfunktionen
$$y = \tan x \quad\text{har perioden } 180^\circ$$ $$\text{asymptoter: } x = 90^\circ + n \cdot 180^\circ \qquad \text{nollställen: } x = n \cdot 180^\circ$$
1.4 Radianer
Omvandling mellan grader och radianer
$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$ $$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0{,}0175 \text{ rad} \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$$
Exakta värden i radianer
| $v$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|
| $\sin v$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos v$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan v$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
Grundekvationerna i radianer
$$\sin v = c: \quad v = v_1 + n \cdot 2\pi \quad\text{eller}\quad v = (\pi - v_1) + n \cdot 2\pi$$ $$\cos v = c: \quad v = \pm v_1 + n \cdot 2\pi$$ $$\tan v = c: \quad v = v_1 + n \cdot \pi$$
Perioden i radianer
$$y = A\sin kx + B \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{2\pi}{k}$$
2.1 Deriveringsregler I
Deriveringsregler från tidigare kurser
| funktion | derivata |
|---|---|
| $x^a$ | $a x^{a-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{kx}$ | $k e^{kx}$ |
| $a^x \; (a > 0)$ | $a^x \ln a$ |
| $k \cdot f(x)$ | $k \cdot f'(x)$ |
| $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ |
Derivatan av sinus och cosinus
$$f(x) = \sin x \;\Rightarrow\; f'(x) = \cos x$$ $$f(x) = \cos x \;\Rightarrow\; f'(x) = -\sin x$$
Kedjeregeln
$$y = f(g(x)) \quad\Longrightarrow\quad y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
2.2 Deriveringsregler II
Produktregeln
$$y = f(x) \cdot g(x) \quad\Longrightarrow\quad y' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
Kvotregeln
$$y = \frac{f(x)}{g(x)} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}$$
Derivatan av tan x
$$y = \tan x \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$
Derivatan av exponentialfunktioner
| funktion | derivata |
|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{kx}$ | $k e^{kx}$ |
| $a^x \; (a > 0)$ | $a^x \ln a$ |
Derivatan av ln x
$$y = \ln x \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)$$
Lösningen till y′ = ky
$$y' = ky \quad\Longleftrightarrow\quad y = Ce^{kx}$$
2.3 Tillämpningar av deriveringsreglerna
Så hittar du extrempunkter
- Derivera.
- Lös $f'(x) = 0$. Det ger kandidaterna.
- Avgör karaktären för varje kandidat: max, min eller terrass.
Största och minsta värde på ett intervall
- Hitta de stationära punkterna inuti intervallet.
- Räkna ut $f$ i dem och i båda ändpunkterna.
- Det största av värdena är största värdet, det minsta är minsta värdet.
2.4 Skissa grafer
Dominerande term i ett polynom
För små $|x|$ dominerar termen med lägst exponent.
För stora $|x|$ dominerar termen med högst exponent.
Asymptoter
| asymptot | när | hitta den så här |
|---|---|---|
| lodrät $x = a$ | $f(x) \to \pm\infty$ när $x \to a$ | nämnaren är $0$, täljaren inte |
| vågrät $y = m$ | $f(x) \to m$ när $x \to \pm\infty$ | se vad som är kvar när $x$ är stort |
| sned $y = kx + m$ | avståndet till linjen $\to 0$ | skriv som en summa av termer |
Så skissar du en graf
- Definitionsmängden. Var finns inte funktionen?
- Derivatan. Extrem- och terrasspunkter, med teckentabell.
- Asymptoterna. Lodräta vid hålen, vågräta eller sneda långt ut.
Absolutbelopp
$$|x| = \begin{cases} x & \text{om } x \ge 0 \\ -x & \text{om } x < 0 \end{cases}$$