Dominerande term
Långt ut vinner den högsta potensen, nära origo den lägsta.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Bestäm extrempunkterna till $$y = \frac{2-x}{x^3}$$
- Varför lockar det svaret? Rätt nollställe men karaktären gissad. Teckentabellen visar minus före och plus efter x = 3 — alltså minimum.
- Varför lockar det svaret? Läser x = 0, där derivatan inte är definierad, som en stationär punkt. Funktionen finns inte ens där — det är en lodrät asymptot, dagens första nya begrepp.
- Varför lockar det svaret? Löser f(x) = 0 i stället för f′(x) = 0 — hittar var kurvan skär x-axeln, inte var den vänder.
Skriv om och derivera term för term: $y = 2x^{-3} - x^{-2}$, så $$y' = -6x^{-4} + 2x^{-3} = \frac{2x - 6}{x^4} = \frac{2(x-3)}{x^4}$$
$y' = 0$ ger $x = 3$. Nämnaren $x^4$ är positiv, så tecknet styrs av $x - 3$:
| $x$ | $x \lt 0$ | $0$ | $0 \lt x \lt 3$ | $3$ | $x \gt 3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $-$ | ej def. | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y$ | ↘ | ej def. | ↘ | min | ↗ |
Minimipunkt $\left(3,\ -\frac{1}{27}\right)$ — den enda extrempunkten.
Och nära $x = 0$? Där är funktionen inte definierad och $y \to \pm\infty$. Det är precis det vi ska ge ett namn idag.
Uppvärmningen slutade med en kurva som rusar iväg nära $x = 0$. För att skissa den behöver vi mer än derivatan. Vi börjar med en enklare fråga: vilken term är störst?
Ta $f(x) = x^3 - 0{,}5x$. Nära origo är $x^3$ pytteliten: för $x = 0{,}1$ är $x^3 = 0{,}001$ men $0{,}5x = 0{,}05$. Långt ut är det tvärtom: för $x = 10$ är $x^3 = 1000$ och $0{,}5x = 5$.
Nära $x = 0$ liknar grafen linjen $y = -0{,}5x$. Långt ut liknar den kurvan $y = x^3$. En skiss kan göras bit för bit: rita de två bitarna och bind ihop dem.
För små $|x|$ dominerar termen med lägst exponent.
För stora $|x|$ dominerar termen med högst exponent.
Koefficienterna spelar ingen roll långt ut. $x^4$ slår $100x^2$ så snart $x > 10$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Betrakta $$f(x) = 2x^2 - x^4$$
Vilken term dominerar för stora $|x|$, och vad betyder det för grafen?
- Varför lockar det svaret? Låter koefficienten avgöra: 2 är större än 1. Men för stora |x| vinner alltid den högsta exponenten — redan vid x = 2 är x⁴ = 16 mot 2x² = 8.
- Varför lockar det svaret? Rätt term men tecknet tappas: x⁴ är positiv, så −x⁴ är negativ. Samma fel som att tro att −x⁴ och (−x)⁴ är samma sak.
- Varför lockar det svaret? Tänker på en tredjegradskurva. En jämn exponent ger samma tecken för x och −x, så båda ändarna går åt samma håll.
Högsta exponenten vinner, oavsett koefficient:
| $x$ | $2x^2$ | $-x^4$ |
|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $-1$ |
| $2$ | $8$ | $-16$ |
| $5$ | $50$ | $-625$ |
Termen $-x^4$ har jämn exponent och negativt tecken, så grafen går mot $-\infty$ både åt vänster och åt höger.
Nära $x = 0$ dominerar i stället $2x^2$: grafen ser ut som en glad parabel där. Resultatet är bokens "negativ $x^4$-term" — två toppar med en dal emellan (s. 125).
Asymptoter
Linjer som grafen närmar sig, långt ut eller nära ett hål.
$f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ är inte definierad för $x = 3$.
- När $x$ närmar sig $3$ blir nämnaren liten och $f(x)$ rusar mot $\pm\infty$. Linjen $x = 3$ är en lodrät asymptot.
- När $x$ blir stort blir bråket litet, $f(x) \to 0$. Linjen $y = 0$ är en vågrät asymptot.
| asymptot | när | hitta den så här |
|---|---|---|
| lodrät $x = a$ | $f(x) \to \pm\infty$ när $x \to a$ | nämnaren är $0$, täljaren inte |
| vågrät $y = m$ | $f(x) \to m$ när $x \to \pm\infty$ | se vad som är kvar när $x$ är stort |
| sned $y = kx + m$ | avståndet till linjen $\to 0$ | skriv som en summa av termer |
Lodräta asymptoter finns bara där funktionen inte är definierad, så börja med definitionsmängden.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vilka asymptoter har $$f(x) = \frac{3x^2}{x^2 - 4}$$
- Varför lockar det svaret? Löser x² = 4 och tar bara den positiva roten. Samma halva svar som ±-felet i kapitel 1 — en kvadrat har två rötter.
- Varför lockar det svaret? Tror att den vågräta asymptoten alltid är y = 0, som för 1/x. Här växer täljaren lika fort som nämnaren, så kvoten går mot 3.
- Varför lockar det svaret? Letar efter lodrät asymptot där TÄLJAREN är noll. Men f(0) = 0 är ett helt vanligt funktionsvärde — grafen går genom origo.
Lodräta: nämnaren $x^2 - 4 = 0$ ger $x = 2$ och $x = -2$. Täljaren är inte noll där, så $f(x) \to \pm\infty$: två lodräta asymptoter.
Vågrät: dividera täljare och nämnare med $x^2$: $$f(x) = \frac{3}{1 - \frac{4}{x^2}} \to \frac{3}{1 - 0} = 3 \quad \text{när } x \to \pm\infty$$
Asymptoterna är $x = 2$, $x = -2$ och $y = 3$.
Rimlighet: $f(100) = \dfrac{30\,000}{9\,996} \approx 3{,}001$.
Knepet för sneda asymptoter är att skriva funktionen som en summa av termer: $$h(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x} = x + 2 - \frac{1}{x}$$ När $x \to \pm\infty$ går $\dfrac{1}{x} \to 0$. Kvar blir linjen $y = x + 2$, en sned asymptot.
Zooma ut, så blir dominerande term asymptot
Välj en funktion och zooma ut långsamt. Tryck på knapparna för termen som dominerar för små och för stora $|x|$. Långt ut smälter grafen ihop med sin dominerande term. För $\dfrac{1}{x} + 4x$ är den termen en rät linje, alltså en sned asymptot.
Vågrät asymptot genom omskrivning
Bestäm asymptoterna till $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Lodrät: nämnaren är noll för $x = 2$, och täljaren är $3 \ne 0$ där. Asymptot $x = 2$.
Vågrät: skriv täljaren som nämnaren plus en rest, $x + 1 = (x - 2) + 3$: $$f(x) = \frac{(x - 2) + 3}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$$
När $x \to \pm\infty$ går $\dfrac{3}{x - 2} \to 0$, så $f(x) \to 1$.
$x = 2$ och $y = 1$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Johan påstår att $y = x$ är en asymptot till $$y = x + \sin x$$
Har han rätt?
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop dominerande term med asymptot. x dominerar, men för en asymptot måste AVSTÅNDET till linjen gå mot noll — inte bara vara litet i förhållande till x.
- Varför lockar det svaret? Tror att problemet är riktningen. Men sin x svänger lika mycket åt höger som åt vänster — avståndet går inte mot noll åt något håll.
- Varför lockar det svaret? Rätt slutsats, fel skäl. En graf FÅR skära sin asymptot — x/(x² + 1) skär sin asymptot y = 0 i origo. Det som avgör är om avståndet går mot noll.
Avståndet mellan kurvan och linjen är $$(x + \sin x) - x = \sin x$$
och $\sin x$ svänger mellan $-1$ och $1$ hur långt ut man än går. Det går inte mot noll, så $y = x$ är ingen asymptot.
Jämför $h(x) = x + 2 - \frac{1}{x}$: där är avståndet till $y = x + 2$ lika med $-\frac{1}{x}$, och det går mot noll.
Att grafen skär linjen (alternativ D) är inget argument — en graf får skära sin asymptot. Asymptot handlar om vad som händer långt ut.
För den nyfikne Nämnaren noll, men ingen asymptot
$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ är inte definierad för $x = 1$. Men $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, så $f(x) = x + 1$ för alla $x \ne 1$. Grafen är en rät linje med ett hål i $(1, 2)$, och ingen asymptot. Därför kräver regeln att täljaren inte är noll där nämnaren är det.
Skissa med derivata och asymptoter
Tre saker att ta reda på, sedan kan du rita.
- Definitionsmängden. Var finns inte funktionen?
- Derivatan. Extrem- och terrasspunkter, med teckentabell.
- Asymptoterna. Lodräta vid hålen, vågräta eller sneda långt ut.
Räkna gärna ut några punkter till, till exempel skärningen med axlarna.
En skiss från början till slut
Skissa grafen till $f(x) = \dfrac{1}{x} + 4x$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Definitionsmängd: alla $x \ne 0$.
Derivata: $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + 4 = 0$ ger $x^2 = \dfrac{1}{4}$, alltså $x = \pm 0{,}5$. Värdena är $f(-0{,}5) = -4$ och $f(0{,}5) = 4$.
Teckentabell, med en kolumn för $x = 0$ där $f$ inte finns:
$x$ $-0{,}5$ $0$ $0{,}5$ $f'$ $+$ $0$ $-$ ej def. $-$ $0$ $+$ $f$ ↗ max ↘ ej def. ↘ min ↗ Asymptoter: $x = 0$ (lodrät) och $y = 4x$ (sned), eftersom $\dfrac{1}{x} \to 0$ långt ut.
Maximipunkt $(-0{,}5;\ -4)$, minimipunkt $(0{,}5;\ 4)$, asymptoterna $x = 0$ och $y = 4x$.
Så ser skissen ut. Grafen består av två grenar, en på var sida om den lodräta asymptoten, och båda närmar sig linjen $y = 4x$ långt ut.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
$f(x) = \dfrac{1}{x} + 4x$ har maximipunkten $(-0{,}5;\ -4)$ och minimipunkten $(0{,}5;\ 4)$.
Hur kan maximum ligga lägre än minimum?
- Varför lockar det svaret? Tror att ett maximum alltid är högre än ett minimum. Det gäller största och minsta värde, inte lokala extrempunkter.
- Varför lockar det svaret? Bestämmer karaktären efter höjden i stället för efter teckentabellen. Tabellen säger + före och − efter x = −0,5: kurvan vänder nedåt, alltså maximum.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop lokal extrempunkt med största/minsta värde. f har inget största värde — men i närheten av x = −0,5 är f(−0,5) störst, och det är vad maximipunkt betyder.
En maximipunkt är lokal: funktionsvärdet är störst i närheten av punkten, inte överallt.
- vänstra grenen ($x \lt 0$): växer upp till $-4$ och vänder nedåt
- högra grenen ($x \gt 0$): faller ner till $4$ och vänder uppåt
Mellan dem ligger den lodräta asymptoten $x = 0$. Grenarna har inget med varandra att göra — hela den högra grenen ligger över den vänstra.
$f$ saknar både största och minsta värde (den går mot $\pm\infty$), men har ändå två lokala extrempunkter. Alternativ D blandar ihop de två begreppen.
Absolutbeloppet som funktion
Avståndet till origo, och grafer med spetsar.
$-x$ betyder motsatta talet, inte ett negativt tal. Om $x = -4$ är $-x = 4$.
Tänk på $|a - b|$ som avståndet mellan $a$ och $b$ på tallinjen. Då blir ekvationer med absolutbelopp nästan självklara.
En ekvation med absolutbelopp
Lös $|x - 3| = 4$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Ekvationen säger: avståndet från $x$ till $3$ är $4$.
Det finns två sådana tal, ett på var sida om $3$: $x - 3 = 4$ eller $x - 3 = -4$.
$x = 7$ eller $x = -1$.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Lös ekvationen $$|2x + 1| = 5$$
- Varför lockar det svaret? Tar bort beloppstecknen och löser bara 2x + 1 = 5. Det andra fallet, 2x + 1 = −5, försvinner.
- Varför lockar det svaret? Sätter ± på svaret i stället för på uttrycket. Lösningarna ligger symmetriskt kring −0,5, där 2x + 1 = 0 — inte kring origo.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop x och |…|. Det är absolutbeloppet som aldrig är negativt, inte x. Kontroll: |2·(−3) + 1| = |−5| = 5.
Två fall: $$2x + 1 = 5 \;\Rightarrow\; x = 2 \qquad 2x + 1 = -5 \;\Rightarrow\; x = -3$$
Kontroll: $|5| = 5$ och $|-5| = 5$. Båda duger.
Lösningarna ligger symmetriskt kring $x = -0{,}5$, där uttrycket inne i beloppet är noll — inte kring origo. Därför är B fel.
Grafen till $y = |2x - 6|$ är linjen $y = 2x - 6$ med delen under $x$-axeln speglad upp. Uppdelat: $$y = \begin{cases} 2x - 6 & \text{om } x \ge 3 \\ -(2x - 6) = 6 - 2x & \text{om } x < 3 \end{cases}$$ I spetsen $x = 3$ finns ingen tangent, så funktionen är inte deriverbar där.
Samma regel för alla funktioner: det som ligger under $x$-axeln speglas upp. $y = |\sin x|$ blir en rad bågar.
- värdemängd $0 \le y \le 1$
- perioden halveras: $180^\circ$ i stället för $360^\circ$, alltså $\pi$ i stället för $2\pi$
- spetsar där $\sin x = 0$, och där är den inte deriverbar
Sammanfattning
- Polynom: lägsta exponenten dominerar nära origo, högsta långt ut.
- Lodrät asymptot $x = a$: nämnaren är noll, täljaren inte.
- Vågrät eller sned asymptot: skriv som en summa av termer och se vad som är kvar när $x \to \pm\infty$.
- Asymptot kräver att avståndet till linjen går mot noll.
- Skiss: definitionsmängd, derivata med teckentabell (med ”ej def.”), asymptoter.
- $|x|$ är avståndet till origo. $|u| = a$ ger $u = a$ eller $u = -a$. Spetsar är inte deriverbara.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Förklara för en kompis
Förklara vad en asymptot är med ett eget exempel, inte ett från sidan.
Ett sätt att tänka
Ett bra svar har tre delar: en rät linje, grafen närmar sig den, och avståndet går mot noll långt ut eller nära en punkt där funktionen inte är definierad. Till exempel $y = \dfrac{1}{x} + 2$ med asymptoterna $x = 0$ och $y = 2$. ”Grafen rör aldrig linjen” är inget krav.
Tangens och sinus
”Grafen till $y = \tan x$ har en enda asymptot, och $y = \sin x$ saknar asymptoter.” Stämmer det?
Ett sätt att tänka
Första delen är falsk: $\tan x$ har lodräta asymptoter vid $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$, oändligt många. Andra delen är sann: $\sin x$ är definierad överallt och närmar sig ingen linje.
Konstruera en funktion
Hitta på en funktion vars graf har asymptoterna $x = -2$ och $y = 2$. Hittar du två olika?
Ett sätt att tänka
$y = \dfrac{1}{x + 2} + 2$ är den enklaste. Andra: $y = \dfrac{-3}{x + 2} + 2$ och $y = \dfrac{2x}{x + 2}$. Nämnaren bestämmer den lodräta, det som blir kvar långt ut den vågräta.
Alltid, ibland eller aldrig?
”Om nämnaren är noll för $x = a$ så har grafen en lodrät asymptot $x = a$.”
Ett sätt att tänka
Ibland. $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ har nämnaren noll för $x = 1$, men är lika med $x + 1$ överallt annars: en linje med ett hål. Regeln som gäller är nämnaren noll och täljaren inte noll.
Alltid positivt?
”Absolutbeloppet av $x$ är alltid positivt.” Har påståendet rätt? Och är inte $-x$ negativt, när $|x| = -x$ för negativa $x$?
Ett sätt att tänka
Nästan: $|0| = 0$, som inte är positivt. Rätt är $|x| \ge 0$. Och om $x = -4$ är $-x = 4$: minustecknet betyder ”motsatta talet”.
Skissa ur ledtrådar
Skissa en graf med asymptoterna $x = 1$ och $y = 2 - x$, minimipunkten $(0{,}5;\ 2)$ och maximipunkten $(1{,}5;\ 0)$.
Ett sätt att tänka
Två grenar på var sin sida om $x = 1$. Den vänstra kommer ovanifrån längs $y = 2 - x$, går ned till minimum och upp mot $+\infty$ vid $x = 1$. Den högra kommer från $-\infty$, går upp till maximum och ned längs $y = 2 - x$. Maximum ligger lägre än minimum, precis som för $\dfrac{1}{x} + 4x$.