Sinus- och cosinuskurvor
Samma cirkel som förut, men nu ritad som en kurva.
Låt en punkt gå runt enhetscirkeln och rita upp dess höjd medan vinkeln växer. Då får du kurvan $y = \sin x$. När punkten har gått ett varv börjar allt om. Kurvan fortsätter likadant i all oändlighet, åt båda hållen.
Sådana funktioner kallas periodiska. Sinus och cosinus har perioden $360^\circ$.
Kurvan $y = \cos x$ ser exakt likadan ut, bara förskjuten $90^\circ$ i sidled: den börjar i toppen i stället för i mitten. Varför det blir så kommer vi till i avsnittet om förskjutningar.
Repetera Från cirkel till kurva
Animationen Från cirkel till kurva i lektion 1 visar hur kurvan växer fram ur cirkeln. Titta på den igen om kopplingen känns oklar.
Från förra lektionen: i $y = A\sin kx$ bestämmer $|A|$ amplituden och $k$ perioden $\dfrac{360^\circ}{k}$.
Men alla kurvor svänger inte kring $x$-axeln. Kurvan kan vara lyft eller sänkt, och då räcker det inte att titta på toppen.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
En sinuskurva har största värdet $5$ och minsta värdet $-1$.
Vilken amplitud har den?
- Varför lockar det svaret? Räknar hela svängningen, största minus minsta, och glömmer att halvera. Avsnittets vanligaste fel.
- Varför lockar det svaret? Tar största värdet som amplitud. Stämmer bara när mittlinjen är x-axeln — här ligger den på y = 2.
- Varför lockar det svaret? Hittar mittlinjen B = 2, vilket är rätt tal på fel fråga.
Mittlinjen ligger mitt emellan: $y = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$. Härifrån är det $3$ upp till $5$ och $3$ ned till $-1$.
Kurvan är alltså $y = 3 \sin x + 2$: amplitud $3$, förskjuten $2$ uppåt.
Läs av kurvan
En kurva av typen $y = A\sin kx + B$ har största värdet $7$, minsta värdet $1$ och perioden $120^\circ$. Bestäm $A$, $k$ och $B$ (med $A > 0$).
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Mittlinjen ligger mitt emellan: $B = \dfrac{7 + 1}{2} = 4$.
Amplituden är halva avståndet: $A = \dfrac{7 - 1}{2} = 3$.
Perioden: $\dfrac{360^\circ}{k} = 120^\circ$ ger $k = 3$.
Kontrollera: $4 + 3 = 7$ ✓ och $4 - 3 = 1$ ✓.
Ekvationer med digitala verktyg
Rita båda leden och läs av var de möts.
En ekvation som $2\sin 2x = 1$ kan lösas grafiskt. Rita $$f(x) = 2\sin 2x \qquad\text{och}\qquad g(x) = 1$$ i samma koordinatsystem, till exempel i GeoGebra eller Desmos, och läs av var graferna skär varandra. Varje skärning är en lösning.
Det är samma tanke som i lektion 1, där en vågrät linje skar enhetscirkeln. Nu är det kurvan som gör jobbet i stället för cirkeln.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Hur många lösningar har ekvationen $$2 \sin 2x = 1$$ i intervallet $0^\circ \le x \le 360^\circ$?
- Varför lockar det svaret? Dubblar en gång för mycket, oftast genom att både dubbla antalet och behålla helvarvet.
- Varför lockar det svaret? Tänker på grundekvationen sin v = 0,5, som ger två lösningar per varv, men missar att 2x hinner två varv.
- Varför lockar det svaret? Räknarens svar och inget mer — samma fel som i lektion 1, nu i ny förklädnad.
Perioden är $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$, så kurvan hinner två hela svängningar. Linjen $y = 1$ skär varje svängning två gånger.
Algebraiskt: $\sin 2x = 0{,}5$ ger $2x = 30^\circ + n \cdot 360^\circ$ och $2x = 150^\circ + n \cdot 360^\circ$, alltså $$x = 15^\circ + n \cdot 180^\circ \quad \text{och} \quad x = 75^\circ + n \cdot 180^\circ$$ vilket i intervallet ger $15^\circ, 75^\circ, 195^\circ, 255^\circ$.
Rita och räkna skärningar
Tryck på Visa linje y = c. Sätt $A = 2$ och $k = 2$, och räkna själv hur många gånger linjen skär kurvan mellan $0^\circ$ och $360^\circ$ innan du läser av antalet. Ändra sedan $k$: antalet lösningar följer med. Låt $v$ och $B$ vara tills vidare.
Lös algebraiskt och kontrollera grafiskt
Lös $2\sin 2x = 1$ för $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Dela med $2$: $\sin 2x = 0{,}5$. Låt $u = 2x$ och lös grundekvationen: $u = 30^\circ + n \cdot 360^\circ$ eller $u = 150^\circ + n \cdot 360^\circ$.
Dela med $2$ för att få $x$ (och glöm inte perioden!): $$x = 15^\circ + n \cdot 180^\circ \quad\text{eller}\quad x = 75^\circ + n \cdot 180^\circ$$
Välj de $n$ som ger $x$ i intervallet: $n = 0$ och $n = 1$ i båda.
Kontroll med grafen: perioden är $180^\circ$, två hela svängningar, två skärningar per svängning. Fyra lösningar. ✓
När det inte går att räkna exakt
Lös $2\sin 2x + \cos x = 0{,}5$ för $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
Här finns ingen formel som gör om vänsterledet till en enda sinuskurva. Rita i stället $f(x) = 2\sin 2x + \cos x$ och $g(x) = 0{,}5$.
Graferna skär varandra fyra gånger. Läs av med verktygets skärningsfunktion.
Förskjutna kurvor
Plus betyder uppåt. Men i sidled är det tvärtom. Varför?
I y-led: som man tror
Kurvan $y = \sin x + B$ är $y = \sin x$ flyttad $B$ steg:
- $B > 0$: uppåt
- $B < 0$: nedåt
$B$ är kurvans mittlinje. Här gör plus precis vad man tror.
I x-led: bakvänt
Kurvan $y = \sin(x + v)$ är $y = \sin x$ flyttad $|v|$ grader:
- $v > 0$: åt vänster
- $v < 0$: åt höger
Plus inne i parentesen flyttar alltså kurvan åt vänster.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Hur ligger kurvan $$y = \cos(x - 30^\circ) - 5$$ i förhållande till $y = \cos x$?
- Varför lockar det svaret? Läser minustecknet i parentesen som vänster. Avsnittets huvudmisstag — riktningen är omvänd.
- Varför lockar det svaret? Rätt på x-led, men kastar om tecknet i y-led.
- Varför lockar det svaret? Blandar ihop vilken konstant som gör vad.
x-led: $\cos(x - 30^\circ)$ toppar när $x - 30^\circ = 0^\circ$, alltså vid $x = 30^\circ$ — senare än $y = \cos x$, som toppar vid $0^\circ$. Kurvan har flyttat $30^\circ$ åt höger.
y-led: $-5$ sänker hela kurvan $5$ steg.
Tecknen verkar bakvända bara i $x$-led. Kontrollera alltid genom att fråga var toppen hamnar, i stället för att memorera en regel.
Dra i A, k, v och B
Grundkurvan ligger kvar i grått som jämförelse. Börja med $v$: gissa åt vilket håll kurvan flyttar sig innan du drar, och läs texten som skrivs ut. Ta sedan $B$, och till sist $A$ och $k$. Knappen Byt till cos gör samma sak med cosinus.
| konstant | betydelse |
|---|---|
| $\lvert A \rvert$ | amplitud $= \dfrac{\text{största} - \text{minsta}}{2}$ |
| $k$ | period $= \dfrac{360^\circ}{k}$ |
| $v$ | förskjutning i $x$-led: vänster om $v > 0$, höger om $v < 0$ |
| $B$ | förskjutning i $y$-led, mittlinjen $y = B$ |
Läs av alla fyra
Beskriv kurvan $y = 2\sin 3(x - 20^\circ) + 1$ jämfört med $y = \sin x$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$A = 2$: amplituden är $2$.
$k = 3$: perioden är $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.
$v = -20^\circ$: förskjuten $20^\circ$ åt höger. Kontroll med toppen: kurvan börjar sin svängning när parentesen är noll, alltså vid $x = 20^\circ$ i stället för vid $0^\circ$.
$B = 1$: mittlinjen är $y = 1$, så kurvan går mellan $1 - 2 = -1$ och $1 + 2 = 3$.
Amplitud $2$, period $120^\circ$, $20^\circ$ åt höger, mittlinje $y = 1$. Största värde $3$, minsta $-1$.
För den nyfikne Varför cos är en förskjuten sinus
$\cos x$ toppar vid $x = 0$ och $\sin x$ vid $x = 90^\circ$. Flyttar vi sinuskurvan $90^\circ$ åt vänster hamnar toppen vid $0$: $$\cos x = \sin(x + 90^\circ)$$ Det stämmer med additionsformeln från lektion 2: $\sin(x + 90^\circ) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$.
Kurvan $y = a\sin x + b\cos x$
Lägg ihop en sinuskurva och en cosinuskurva. Vad får du?
Summan av en sinus- och en cosinuskurva med samma period blir en ny sinuskurva, bara förskjuten i sidled och med en ny amplitud.
Figuren visar $y = 2\sin x + 3\cos x$. Summan når inte upp till $2 + 3 = 5$. Den stannar vid ungefär $3{,}6$.
$c$ är den nya amplituden, och $v$ ligger mellan $-90^\circ$ och $90^\circ$.
Amplituden kommer ur Pythagoras sats, inte ur $a + b$. Det är ingen slump: $a$ och $b$ är kateterna och $c$ hypotenusan i en rätvinklig triangel med vinkeln $v$.
Skriv som en enda sinuskurva
Skriv $y = 2\sin x + 3\cos x$ på formen $c\sin(x + v)$.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
- $c = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}6$
$\tan v = \dfrac{3}{2}$ ger $v = \arctan 1{,}5 \approx 56{,}3^\circ$
Kontroll vid $x = 0$: vänsterledet är $0 + 3 = 3$ och högerledet $3{,}6 \sin 56{,}3^\circ \approx 3{,}0$ ✓
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
Vilket är det största värdet funktionen $$y = 7 \sin x - 24 \cos x$$ kan anta?
- Varför lockar det svaret? Subtraherar, 24 − 7, och läser minustecknet som att termerna motverkar varandra fullt ut.
- Varför lockar det svaret? Tar den största av de två koefficienterna.
- Varför lockar det svaret? Adderar amplituderna, 7 + 24. Antar att båda kurvorna toppar samtidigt — det gör de aldrig.
Funktionen kan skrivas $y = 25\sin(x - 73{,}7^\circ)$, och en sinuskurva med amplitud $25$ har största värdet $25$.
Att $7 + 24 = 31$ är fel beror på att $\sin x$ och $\cos x$ aldrig når sina toppvärden vid samma $x$ — den ena toppar när den andra är noll.
Största värdet utan derivata
Bestäm det största värdet av $y = \sin x + \cos x$ och ett $x$ där det antas.
Försök själv först. Öppna sedan ett steg i taget.
$c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ och $\tan v = 1$ ger $v = 45^\circ$, så $y = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ)$.
En sinuskurva med amplituden $\sqrt{2}$ har största värdet $\sqrt{2}$. Det antas när $x + 45^\circ = 90^\circ$, alltså vid $x = 45^\circ$.
Kontroll: $\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ ✓
Största värdet är $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, till exempel vid $x = 45^\circ$.
För den nyfikne Varför formeln stämmer
Skriv ut högerledet med additionsformeln: $$c\sin(x + v) = c\cos v \cdot \sin x + c\sin v \cdot \cos x$$ Det ska vara lika med $a\sin x + b\cos x$ för alla $x$, så $$a = c\cos v \qquad b = c\sin v$$ Kvadrera och addera, och trigonometriska ettan ger $a^2 + b^2 = c^2(\cos^2 v + \sin^2 v) = c^2$. Dela den andra ekvationen med den första: $\tan v = \dfrac{b}{a}$.
Tangensfunktionen
En kurva med hål i, och som rusar iväg mot oändligheten.
$y = \tan x$ ser helt annorlunda ut än sinus och cosinus.
Eftersom $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ är den inte definierad där $\cos x = 0$. Nära de punkterna blir nämnaren mycket liten och kvoten mycket stor. Kurvan närmar sig lodräta linjer utan att någonsin nå dem. Sådana linjer kallas asymptoter.
Välj ett svar innan du läser vidare. Det gör inget om det blir fel — det är så man ser vad man tror.
För vilka $x$ är $y = \tan x$ inte definierad?
- Varför lockar det svaret? Anger nollställena i stället för asymptoterna — där är tan x = 0, alltså väldefinierad.
- Varför lockar det svaret? Tar med både nollställen och asymptoter, dubbelt så många som det ska vara.
- Varför lockar det svaret? Missar att nämnaren cos x kan bli noll.
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ saknar mening när nämnaren är noll, alltså när
Det är precis där asymptoterna ligger: $\ldots, -90^\circ, 90^\circ, 270^\circ, \ldots$
Vid $x = n \cdot 180^\circ$ är i stället $\sin x = 0$, så där är $\tan x = 0$ — definierad, och lika med noll.
Perioden är $180^\circ$ av samma skäl som i lektion 1: punkten mitt emot på enhetscirkeln har både $x$ och $y$ med ombytt tecken, så kvoten $y/x$ är densamma.
Har tangenskurvan en amplitud? Nej. Amplitud kräver ett största och ett minsta värde, och $\tan x$ har inget av dem. Den är obegränsad.
Sammanfattning
- En sinuskurva beskrivs av fyra tal: $y = A\sin k(x + v) + B$.
- Amplitud $|A| = \dfrac{\text{största} - \text{minsta}}{2}$, mittlinje $B = \dfrac{\text{största} + \text{minsta}}{2}$, period $\dfrac{360^\circ}{k}$.
- $B$ flyttar kurvan upp eller ned. $v$ flyttar den i sidled, åt vänster när $v > 0$. Fråga alltid var toppen hamnar.
- Ekvationer kan lösas grafiskt. Antalet lösningar är antalet perioder gånger antalet skärningar per period.
- $a\sin x + b\cos x = c\sin(x + v)$ med $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Största värdet är $c$, inte $a + b$.
- $\tan x$ har perioden $180^\circ$ och asymptoter vid $x = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$.
Tänk vidare
Frågor utan räkning. Fundera själv eller med en kurskamrat innan du öppnar tanken.
Konstruera kurvan
Skissa en kurva med amplitud 2, period 180° och mittlinje $y = -1$, och skriv en formel för den. Kan olika formler ge samma tre mått?
Ett sätt att tänka
Till exempel $y = 2\sin 2x - 1$. Men $y = 2\cos 2x - 1$, $y = -2\sin 2x - 1$ och alla $y = 2\sin 2(x + v) - 1$ duger också. Amplitud, period och mittlinje bestämmer inte kurvan helt: förskjutningen i sidled är fri. Därför har standardformen fyra konstanter och inte tre.
Hitta felet i perioden
En elev säger: "Kurvan skär sin mittlinje var 90:e grad, alltså är perioden $90^\circ$." Vad har eleven missat?
Ett sätt att tänka
Kurvan skär mittlinjen två gånger per period, en gång på väg upp och en gång på väg ned. Perioden är alltså $180^\circ$. Det säkraste sättet att läsa av en period är från topp till topp.
Störst och minst
Vilket är det största och minsta värdet av $y = 4 - 3\cos 2x$? För vilka $x$ mellan $0^\circ$ och $360^\circ$ antas de?
Ett sätt att tänka
$\cos 2x$ ligger mellan $-1$ och $1$, men minustecknet vänder på det: $y$ är störst när $\cos 2x$ är minst. Största värdet är $7$, vid $x = 90^\circ$ och $270^\circ$. Minsta värdet är $1$, vid $x = 0^\circ$, $180^\circ$ och $360^\circ$.
Modellera dagens längd
Dagens längd i Stockholm varierar mellan ungefär $6$ och $18$ timmar, med maximum i slutet av juni. Ställ upp en möjlig funktion $L(t)$ där $t$ är dagens nummer på året.
Ett sätt att tänka
Amplitud $\dfrac{18 - 6}{2} = 6$, mittlinje $12$, period $365$ dagar, alltså $k = \dfrac{360^\circ}{365}$. Till exempel $L(t) = 12 - 6\cos\left(\dfrac{360^\circ}{365}\, t\right)$ med $t = 0$ vid vintersolståndet. Kontrollera $L(0) = 6$ och $L(182) \approx 18$. Mer om modeller i nästa lektion.