1.3 Uppgifter
Trigonometriska funktioner
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Mycket här handlar om att läsa av en kurva. Rita alltid en snabb skiss med mittlinje, topp och botten innan du räknar.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Sinus- och cosinuskurvor
Läs teorin: 1. Sinus- och cosinuskurvor →En kurva av typen $y = A\sin kx + B$ har största värdet $5$, minsta värdet $-1$ och perioden $400^\circ$. Bestäm $A$, $k$ och $B$ ($A > 0$).
Ledtråd
Mittlinjen först, sedan amplituden, sist perioden.
$B = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$ och $A = \dfrac{5 - (-1)}{2} = 3$.
$\dfrac{360^\circ}{k} = 400^\circ$ ger $k = 0{,}9$.
Kontroll: $2 + 3 = 5$ ✓ och $2 - 3 = -1$ ✓.
Svar
$y = 3\sin 0{,}9x + 2$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Sinus- och cosinuskurvor →
Ekvationer med digitala verktyg
Läs teorin: 2. Ekvationer med digitala verktyg →Lös ekvationen $3\cos x = x/30$ grafiskt för $0^\circ \le x \le 360^\circ$ (där $x$ är i grader). Hur många lösningar finns, och ungefär var?
Ledtråd
Rita $f(x) = 3\cos x$ och den räta linjen $g(x) = x/30$ i samma fönster. Linjen går från $0$ till $12$.
Linjen $g(x) = x/30$ börjar i $0$ och stiger till $12$ vid $x = 360^\circ$. Cosinuskurvan går mellan $-3$ och $3$.
Linjen är över $3$ när $x > 90^\circ$, så alla skärningar måste ligga före $x = 90^\circ$. Där går cosinuskurvan nedåt från $3$ och linjen uppåt från $0$: de möts en gång.
Verktyget ger skärningen $x \approx 53{,}5^\circ$. Kontroll: $3\cos 53{,}5^\circ \approx 1{,}78$ och $53{,}5/30 \approx 1{,}78$ ✓
Svar
En lösning, $x \approx 53{,}5^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Ekvationer med digitala verktyg →
Förskjutna kurvor
Läs teorin: 3. Förskjutna kurvor →Beskriv kurvan $y = 3\cos 2(x + 45^\circ) - 2$ jämfört med $y = \cos x$: amplitud, period, förskjutning och mittlinje. Ange också största och minsta värde.
Amplitud $3$, period $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$.
$v = 45^\circ > 0$: $45^\circ$ åt vänster. Kontroll: $\cos$ toppar när parentesen är $0$, alltså vid $x = -45^\circ$, tidigare än $0^\circ$.
Mittlinje $y = -2$. Största värde $-2 + 3 = 1$, minsta $-2 - 3 = -5$.
Svar
Amplitud $3$, period $180^\circ$, $45^\circ$ åt vänster, mittlinje $y = -2$, största $1$, minsta $-5$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Förskjutna kurvor →
En cosinuskurva har sin första topp till höger om $y$-axeln vid $x = 60^\circ$, där $y = 4$. Nästa topp ligger vid $x = 240^\circ$. Det minsta värdet är $0$. Bestäm en formel $y = A\cos k(x + v) + B$.
Ledtråd
Två toppar i rad ger perioden. Största och minsta värde ger $A$ och $B$. Toppens läge ger $v$.
Perioden är avståndet mellan topparna: $240^\circ - 60^\circ = 180^\circ$, så $k = 2$.
$B = \dfrac{4 + 0}{2} = 2$ och $A = \dfrac{4 - 0}{2} = 2$.
$\cos$ toppar när parentesen är $0$: $x + v = 0$ ska ge $x = 60^\circ$, alltså $v = -60^\circ$.
Kontroll: $x = 60^\circ$ ger $2\cos 0 + 2 = 4$ ✓, $x = 150^\circ$ ger $2\cos 180^\circ + 2 = 0$ ✓.
Svar
$y = 2\cos 2(x - 60^\circ) + 2$ (andra skrivsätt kan också vara rätt).
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Förskjutna kurvor →
Kurvan $y = a\sin x + b\cos x$
Läs teorin: 4. Kurvan $y = a\sin x + b\cos x$ →Skriv $y = 3\sin x + 4\cos x$ på formen $y = c\sin(x + v)$. Ange $v$ med en decimal.
$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
$\tan v = \dfrac{4}{3}$ ger $v = \arctan \dfrac{4}{3} \approx 53{,}1^\circ$.
Kontroll vid $x = 0$: $3 \cdot 0 + 4 = 4$ och $5\sin 53{,}1^\circ \approx 4{,}0$ ✓.
Svar
$y = 5\sin(x + 53{,}1^\circ)$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kurvan $y = a\sin x + b\cos x$ →
Bestäm det största värdet av $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ och det $x$ mellan $0^\circ$ och $360^\circ$ där det antas.
Ledtråd
Skriv om som $c\sin(x + v)$. Här blir $v$ en vinkel du känner igen.
$c = \sqrt{3 + 1} = 2$ och $\tan v = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ger $v = 30^\circ$.
$y = 2\sin(x + 30^\circ)$ har största värdet $2$ när $x + 30^\circ = 90^\circ$, alltså $x = 60^\circ$.
Kontroll: $\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$ ✓.
Svar
Största värdet $2$, vid $x = 60^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kurvan $y = a\sin x + b\cos x$ →
Tangensfunktionen
Läs teorin: 5. Tangensfunktionen →Var har $y = \tan 2x$ sina asymptoter i intervallet $0^\circ \le x \le 180^\circ$?
Ledtråd
Asymptoterna ligger där $\cos 2x = 0$.
$\cos 2x = 0$ när $2x = 90^\circ + n \cdot 180^\circ$, alltså $x = 45^\circ + n \cdot 90^\circ$.
I intervallet: $x = 45^\circ$ och $x = 135^\circ$.
Svar
$x = 45^\circ$ och $x = 135^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Tangensfunktionen →
Blandat, som på tentan
Blandade uppgifter från lektion 1–3. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Funktionen $f(x) = 4\sin(x - 30^\circ) + 1$ är given.
a) Ange amplitud, period och mittlinje. b) Bestäm största och minsta värde. c) Lös $f(x) = 3$ för $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
a) Amplitud $4$, period $360^\circ$, mittlinje $y = 1$.
b) Största $5$, minsta $-3$.
c) $4\sin(x - 30^\circ) = 2 \iff \sin(x - 30^\circ) = \tfrac12$, så $x - 30^\circ = 30^\circ$ eller $150^\circ$ (plus hela varv). Alltså $x = 60^\circ$ eller $x = 180^\circ$.
Svar
c) $x = 60^\circ$ och $x = 180^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Förskjutna kurvor →
Lös ekvationen $\sin x + \cos x = 1$ för $0^\circ \le x < 360^\circ$.
Ledtråd
Skriv vänsterledet som en enda sinuskurva.
$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ)$, så ekvationen blir $\sin(x + 45^\circ) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
$x + 45^\circ = 45^\circ$ eller $x + 45^\circ = 135^\circ$ (plus hela varv).
$x = 0^\circ$ eller $x = 90^\circ$. Kontroll: $0 + 1 = 1$ ✓ och $1 + 0 = 1$ ✓.
Svar
$x = 0^\circ$ och $x = 90^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Kurvan $y = a\sin x + b\cos x$ →