2.2 Uppgifter
Deriveringsregler II
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Skriv ln(x) för naturliga logaritmen, e^(2x) för exponentialfunktioner och / för bråk, med parenteser runt täljare och nämnare: (1-x^2)/(x^2+1)^2. Du behöver inte förenkla, så länge uttrycket är rätt. Under rutan ser du hur ditt svar tolkas innan du skickar det.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Derivatan av en produkt
Läs teorin: 1. Derivatan av en produkt →En elev deriverar $y = x^3 e^x$ och får $y' = 3x^2 e^x$. Vad har eleven gjort, och vad är rätt svar? Hur kan man se felet utan att räkna?
Eleven har deriverat båda faktorerna var för sig och multiplicerat: $D\,x^3 \cdot D\,e^x = 3x^2 \cdot e^x$.
Rätt: $y' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2 e^x(3 + x)$.
Formkontrollen: en produkt ger två termer. Ett svar med en term ska väcka misstanke.
Svar
$y' = 3x^2e^x + x^3e^x = x^2e^x(x + 3)$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Derivatan av en produkt →
Bestäm de $x$ där kurvan $y = x^2 e^{-x}$ har en vågrät tangent.
Ledtråd
Vågrät tangent betyder $y' = 0$. Bryt ut den gemensamma faktorn och använd nollproduktmetoden.
$y' = 2x e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = xe^{-x}(2 - x)$.
$e^{-x}$ är aldrig noll, så $y' = 0$ när $x = 0$ eller $x = 2$.
Svar
$x = 0$ och $x = 2$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Derivatan av en produkt →
Derivatan av en kvot, och av $\tan x$
Läs teorin: 2. Derivatan av en kvot, och av $\tan x$ →Derivera $y = \dfrac{\sin x}{x}$ på två sätt: med kvotregeln, och genom att skriva $y = x^{-1}\sin x$ och använda produktregeln. Visa att svaren är lika.
Kvotregeln: $y' = \dfrac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.
Produktregeln: $y' = -x^{-2}\sin x + x^{-1}\cos x = -\dfrac{\sin x}{x^2} + \dfrac{\cos x}{x}$.
Förläng den andra termen med $x$: $\dfrac{x\cos x}{x^2} - \dfrac{\sin x}{x^2}$, samma sak som kvotregelns svar.
Svar
$y' = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av en kvot, och av $\tan x$ →
Härled derivatan av $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ med kvotregeln. Skriv svaret på två sätt.
$y' = \dfrac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Med trigonometriska ettan blir täljaren $1$: $y' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$.
Delar du i stället upp bråket: $\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$.
Svar
$\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av en kvot, och av $\tan x$ →
Exponentialfunktioner och $\ln x$
Läs teorin: 3. Exponentialfunktioner och $\ln x$ →Derivera $y = \dfrac{\ln x}{x}$ och bestäm var kurvan har en vågrät tangent.
Kvotregeln: $y' = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
$y' = 0$ när täljaren är noll: $\ln x = 1$, alltså $x = e$.
Svar
$y' = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, vågrät tangent där $x = e$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Exponentialfunktioner och $\ln x$ →
Differentialekvationer
Läs teorin: 4. Differentialekvationer →Vilken ordning har differentialekvationerna?
a) $y' = 4y$ b) $y'' + 9y = 0$ c) $y' + xy'' = 2$
Ordningen är den högsta derivatan som finns med: a) första, b) andra, c) andra.
Svar
a) första b) andra c) andra
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Differentialekvationer →
Visa att $y = \sin 2x$ är en lösning till $y'' + 4y = 0$. Är $y = 3\cos 2x$ också en lösning?
Ledtråd
Derivera två gånger och sätt in i vänsterledet.
$y' = 2\cos 2x$ och $y'' = -4\sin 2x$. Vänsterledet blir $-4\sin 2x + 4\sin 2x = 0$ ✓.
$y = 3\cos 2x$: $y' = -6\sin 2x$, $y'' = -12\cos 2x$, och $-12\cos 2x + 4 \cdot 3\cos 2x = 0$ ✓. Ja, också en lösning.
Svar
Båda är lösningar.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Differentialekvationer →
Bestäm konstanten $k$ så att $y = e^{kx}$ blir en lösning till $y'' - y' - 6y = 0$.
Ledtråd
Sätt in $y$, $y'$ och $y''$ och bryt ut $e^{kx}$.
$y' = ke^{kx}$ och $y'' = k^2e^{kx}$. Insättning: $e^{kx}(k^2 - k - 6) = 0$.
$e^{kx}$ är aldrig noll, så $k^2 - k - 6 = 0$, alltså $k = 3$ eller $k = -2$.
Svar
$k = 3$ eller $k = -2$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Differentialekvationer →
Differentialekvationer som modeller
Läs teorin: 5. Differentialekvationer som modeller →Skriv en differentialekvation för varje mening.
a) Kaffet svalnar med en hastighet som är proportionell mot skillnaden mellan kaffets temperatur $T$ och rummets $20$ °C.
b) Mängden läkemedel $m$ i blodet minskar med $12$ % per timme.
c) Ett rykte sprids så att antalet $N$ som hört det ökar med en hastighet som är proportionell mot antalet som ännu inte hört det, i en stad med $50\,000$ invånare.
a) $T' = -k(T - 20)$ med $k > 0$. Kontroll: varmt kaffe ger $T' < 0$.
b) $m' = -0{,}12m$.
c) $N' = k(50\,000 - N)$ med $k > 0$. Samma form som steken i ugnen.
Svar
a) $T' = -k(T - 20)$ b) $m' = -0{,}12m$ c) $N' = k(50\,000 - N)$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Differentialekvationer som modeller →
En kopp te har temperaturen $T = 20 + 70e^{-kt}$ grader efter $t$ minuter. Efter $10$ minuter är teet $60$ °C.
a) Vilken var temperaturen från början, och vad närmar sig den? b) Bestäm $k$. c) Visa att $T' = -k(T - 20)$.
a) $T(0) = 20 + 70 = 90$ °C. När $t$ växer går $e^{-kt}$ mot $0$, så $T$ närmar sig rumstemperaturen $20$ °C.
b) $20 + 70e^{-10k} = 60$ ger $e^{-10k} = \dfrac{4}{7}$, så $k = \dfrac{1}{10}\ln\dfrac{7}{4} \approx 0{,}056$.
c) $T' = -70ke^{-kt}$ och $T - 20 = 70e^{-kt}$, så $T' = -k(T - 20)$ ✓.
Svar
a) $90$ °C, närmar sig $20$ °C b) $k \approx 0{,}056$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Differentialekvationer som modeller →
Blandat, som på tentan
Uppgifter i tentastil. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Derivera:
a) $f(x) = x^3\ln x$ b) $g(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}$ c) $h(x) = 4\cdot 2^{3x}$
a) $f'(x) = 3x^2\ln x + x^3 \cdot \dfrac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2$.
b) $g'(x) = \dfrac{2e^{2x} \cdot x - e^{2x} \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$.
c) $h'(x) = 4 \cdot 2^{3x}\ln 2 \cdot 3 = 12\ln 2 \cdot 2^{3x}$.
Svar
a) $x^2(3\ln x + 1)$ b) $\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$ c) $12\ln 2 \cdot 2^{3x}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av en kvot, och av $\tan x$ →
Bestäm ekvationen för tangenten till $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ i punkten där $x = 0$.
$y(0) = 0$, så punkten är origo.
$y' = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$, så lutningen är $y'(0) = 1$.
Tangenten: $y = x$.
Svar
$y = x$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Derivatan av en kvot, och av $\tan x$ →
Visa att $y = 3e^{2x} + x$ är en lösning till $y' - 2y = 1 - 2x$, och kontrollera att den uppfyller $y(0) = 3$.
$y' = 6e^{2x} + 1$. Vänsterledet: $6e^{2x} + 1 - 2(3e^{2x} + x) = 1 - 2x$ ✓.
$y(0) = 3e^0 + 0 = 3$ ✓.
Svar
Insättning ger $1 - 2x$ i båda leden, och $y(0) = 3$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Differentialekvationer →
En radioaktiv isotop sönderfaller enligt $N' = -0{,}0866N$, där $t$ mäts i dygn. Hur lång är halveringstiden?
Lösningen är $N = N_0e^{-0{,}0866t}$.
Halveringstiden $T$ uppfyller $e^{-0{,}0866T} = \dfrac{1}{2}$, så $T = \dfrac{\ln 2}{0{,}0866} \approx 8{,}0$ dygn.
Svar
Ungefär $8$ dygn.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Differentialekvationer som modeller →