1.4 Uppgifter
Radianer
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Ett tal utan gradtecken är radianer, även här. Kontrollera att räknaren står i RAD innan du börjar.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Vad är en radian?
Läs teorin: 1. Vad är en radian? →En hjulring har radien $30$ cm. Hjulet rullar $1{,}5$ m längs marken utan att glida. Hur många radianer har hjulet vridit sig? Ungefär hur många varv är det?
Sträckan längs marken är lika lång som bågen på hjulet: $v = \dfrac{150}{30} = 5$ radianer.
Ett varv är $2\pi \approx 6{,}28$ radianer, så $5$ radianer är $\dfrac{5}{6{,}28} \approx 0{,}8$ varv.
Svar
$5$ radianer, ungefär $0{,}8$ varv.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Vad är en radian? →
Grader och radianer
Läs teorin: 2. Grader och radianer →Beräkna med räknaren, med tre decimaler: a) $\sin 1$ b) $\sin 1^\circ$ c) $\cos \pi$ d) $\cos 3$
Ledtråd
Byt läge på räknaren mellan a) och b). Står det inget gradtecken ska räknaren stå i RAD.
a) RAD: $\sin 1 \approx 0{,}841$.
b) DEG: $\sin 1^\circ \approx 0{,}017$.
c) RAD: $\cos \pi = -1$ exakt, ett halvt varv.
d) RAD: $\cos 3 \approx -0{,}990$. Rimligt, eftersom $3$ ligger nära $\pi$.
Svar
a) $0{,}841$ b) $0{,}017$ c) $-1$ d) $-0{,}990$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Grader och radianer →
Exakta värden och ekvationer i radianer
Läs teorin: 3. Exakta värden och ekvationer i radianer →Lös $\sin x = 0{,}4$. Ange alla lösningar i radianer, med två decimaler.
RAD: $x_1 = \arcsin 0{,}4 \approx 0{,}41$.
Spegling i $y$-axeln: $x_2 = \pi - 0{,}41 \approx 2{,}73$.
Alla lösningar: lägg till $n \cdot 2\pi$.
Svar
$x \approx 0{,}41 + n \cdot 2\pi$ och $x \approx 2{,}73 + n \cdot 2\pi$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Exakta värden och ekvationer i radianer →
Lös ekvationerna och svara exakt i radianer: a) $\sin x = 1$ b) $\cos x = -1$ c) $\tan x - 1 = 0$
a) Rakt upp på cirkeln: $x = \dfrac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi$.
b) Längst till vänster: $x = \pi + n \cdot 2\pi$.
c) $\tan x = 1$: $x = \dfrac{\pi}{4} + n \cdot \pi$ (tangens har perioden $\pi$).
Svar
a) $\dfrac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi$ b) $\pi + n \cdot 2\pi$ c) $\dfrac{\pi}{4} + n \cdot \pi$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Exakta värden och ekvationer i radianer →
Trigonometriska modeller
Läs teorin: 4. Trigonometriska modeller →Vattendjupet vid en brygga ges av $h(t) = 1{,}2\sin\dfrac{\pi t}{6} + 3{,}0$ meter, där $t$ är timmar efter kl. 06.00.
a) Vilket är det största och minsta djupet? b) Vilken period har modellen? c) När är det djupast första gången?
a) Mittlinje $3{,}0$ och amplitud $1{,}2$: största $4{,}2$ m, minsta $1{,}8$ m.
b) $P = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12$ timmar.
c) Störst när $\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{2}$, alltså $t = 3$: kl. 09.00.
Svar
a) $4{,}2$ m och $1{,}8$ m b) $12$ h c) kl. 09.00
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska modeller →
I en stad är dagens längd som längst $18{,}5$ timmar (dag $172$) och som kortast $6{,}0$ timmar. Ställ upp en modell $L(t) = A\cos k(t - t_0) + B$, där $t$ är dagens nummer på året, med perioden $365$ dagar.
Ledtråd
Amplitud och mittlinje ur största och minsta värdet. En cosinuskurva med plus framför toppar när parentesen är noll.
$A = \dfrac{18{,}5 - 6{,}0}{2} = 6{,}25$ och $B = \dfrac{18{,}5 + 6{,}0}{2} = 12{,}25$.
$k = \dfrac{2\pi}{365} \approx 0{,}0172$.
Toppen ska ligga vid $t = 172$, så $t_0 = 172$.
Kontroll: $L(172) = 6{,}25 + 12{,}25 = 18{,}5$ ✓.
Svar
$L(t) = 6{,}25\cos\dfrac{2\pi}{365}(t - 172) + 12{,}25$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska modeller →
Blandat, som på tentan
Blandade uppgifter från hela kapitel 1. Skriv lösningarna på papper med motiveringar innan du tittar.
Lös ekvationen $2\sin x + \sqrt{3} = 0$ för $0 \le x < 2\pi$. Svara exakt.
$\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Referensvinkeln är $\dfrac{\pi}{3}$.
Sinus är negativ i tredje och fjärde kvadranten: $x = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$ och $x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$.
Svar
$x = \dfrac{4\pi}{3}$ och $x = \dfrac{5\pi}{3}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Exakta värden och ekvationer i radianer →
Funktionen $f(x) = 3\sin 2x + 1$ är given, med $x$ i radianer.
a) Ange period, största och minsta värde. b) Lös $f(x) = 1$ för $0 \le x \le \pi$. c) Bestäm de $x$ i samma intervall där $f$ är som störst.
a) Period $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$. Största $4$, minsta $-2$.
b) $3\sin 2x = 0$, alltså $\sin 2x = 0$: $2x = n\pi$, $x = \dfrac{n\pi}{2}$. I intervallet: $0$, $\dfrac{\pi}{2}$ och $\pi$.
c) $\sin 2x = 1$ när $2x = \dfrac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi$, alltså $x = \dfrac{\pi}{4}$.
Svar
a) $\pi$, $4$, $-2$ b) $0,\ \tfrac{\pi}{2},\ \pi$ c) $\tfrac{\pi}{4}$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska modeller →
En pendel svänger mellan $-0{,}3$ och $0{,}3$ radianer. Hur många grader svänger den totalt, från ena ytterläget till det andra? Hur lång är bågen som pendelns spets går, om pendeln är $1{,}2$ m lång?
Totalt $0{,}6$ radianer, alltså $0{,}6 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 34{,}4^\circ$.
Båglängden är vinkeln i radianer gånger radien: $0{,}6 \cdot 1{,}2 = 0{,}72$ m.
Svar
Ungefär $34{,}4^\circ$ och en båge på $0{,}72$ m.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Grader och radianer →