1.1 Uppgifter
Trigonometri och enhetscirkeln
Uppgifterna följer teorins avsnitt. Börja med nivå 1 i varje avsnitt och gå vidare när det känns lätt. De automaträttade uppgifterna har nya tal varje gång du trycker Ny variant. Gör om dem tills de går av sig själva.
●○○ Grund●●○ Mellan●●● Utmaning
Rättas direktLösning finns
Sinus, cosinus och tangens i en triangel
Läs teorin: 1. Sinus, cosinus och tangens i en triangel →En rullstolsramp ska ta sig upp $0{,}50$ m. Längs marken är rampen $6{,}0$ m lång. Vilken vinkel bildar rampen med marken? Avrunda till en decimal.
Ledtråd
Rita triangeln. Du känner båda kateterna. Vilken av sin, cos och tan använder just de två?
Höjden $0{,}50$ är den motstående kateten och $6{,}0$ den närliggande. Motstående genom närliggande är tangens: $$\tan v = \frac{0{,}50}{6{,}0} \approx 0{,}0833$$
$$v = \arctan 0{,}0833 \approx 4{,}8^\circ$$ En svag lutning, som den ska vara för en ramp.
Svar
$v \approx 4{,}8^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Sinus, cosinus och tangens i en triangel →
I en rätvinklig triangel är hypotenusan $10$ cm och en av de spetsiga vinklarna $35^\circ$. Bestäm båda kateterna och den andra spetsiga vinkeln.
Ledtråd
Skriv $\sin 35^\circ = \dfrac{a}{10}$ och lös ut $a$. Vinkelsumman i en triangel är $180^\circ$.
Den motstående kateten: $a = 10 \sin 35^\circ \approx 5{,}7$ cm.
Den närliggande: $b = 10 \cos 35^\circ \approx 8{,}2$ cm.
Den andra vinkeln: $180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
Kontroll med Pythagoras: $5{,}74^2 + 8{,}19^2 \approx 100 = 10^2$. ✓
Svar
Kateterna är ungefär $5{,}7$ cm och $8{,}2$ cm, den andra vinkeln $55^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 1. Sinus, cosinus och tangens i en triangel →
Enhetscirkeln
Läs teorin: 2. Enhetscirkeln →Avgör utan räknare om $\sin v$ och $\cos v$ är positiva eller negativa när
a) $v = 200^\circ$ b) $v = 100^\circ$ c) $v = 300^\circ$ d) $v = -45^\circ$
Ledtråd
Rita cirkeln. $\cos v$ är positivt till höger om $y$-axeln, $\sin v$ ovanför $x$-axeln.
a) $200^\circ$: tredje kvadranten, nere till vänster. Båda negativa.
b) $100^\circ$: andra kvadranten, uppe till vänster. $\sin v > 0$, $\cos v < 0$.
c) $300^\circ$: fjärde kvadranten, nere till höger. $\sin v < 0$, $\cos v > 0$.
d) $-45^\circ$: vrid medurs, också fjärde kvadranten. $\sin v < 0$, $\cos v > 0$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Enhetscirkeln →
Vridning och period
Läs teorin: 3. Vridning och period →Vilka av vinklarna hamnar i samma punkt på enhetscirkeln som $100^\circ$?
$$460^\circ \qquad -260^\circ \qquad 820^\circ \qquad -100^\circ \qquad 280^\circ$$
Ledtråd
Två vinklar ger samma punkt om skillnaden mellan dem är ett helt antal varv, $n \cdot 360^\circ$.
$460^\circ - 100^\circ = 360^\circ$: ett varv. ✓
$-260^\circ - 100^\circ = -360^\circ$: ett varv medurs. ✓
$820^\circ - 100^\circ = 720^\circ$: två varv. ✓
$-100^\circ$ är speglingen i $x$-axeln och $280^\circ$ är samma punkt som $-100^\circ$. Ingen av dem hamnar på $100^\circ$.
Svar
$460^\circ$, $-260^\circ$ och $820^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 3. Vridning och period →
Trigonometriska ekvationer
Läs teorin: 4. Trigonometriska ekvationer →Vilka av ekvationerna saknar lösning? Motivera utan att räkna.
a) $\sin v = 0{,}99$ b) $\cos v = -1{,}2$ c) $3\sin v = 2$ d) $2\cos v = 3$
Ledtråd
Skriv om varje ekvation till formen $\sin v = c$ eller $\cos v = c$. Ligger $c$ mellan $-1$ och $1$?
a) $0{,}99$ ligger mellan $-1$ och $1$: lösning finns.
b) $-1{,}2 < -1$: linjen $x = -1{,}2$ missar cirkeln. Ingen lösning.
c) $\sin v = \tfrac{2}{3}$: lösning finns.
d) $\cos v = \tfrac{3}{2} = 1{,}5 > 1$. Ingen lösning.
Svar
b och d.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska ekvationer →
Lös $3\cos v = 2$ för $0^\circ \le v \le 360^\circ$. Avrunda till en decimal.
Ledtråd
Dela först med $3$. Cosinus speglas i $x$-axeln.
$\cos v = \tfrac{2}{3}$, och räknaren ger $v_1 = \arccos \tfrac{2}{3} \approx 48{,}2^\circ$.
Den andra lösningen är speglingen i $x$-axeln: $-48{,}2^\circ$, som i intervallet blir $360^\circ - 48{,}2^\circ = 311{,}8^\circ$.
Kontroll: $\cos v > 0$ i kvadrant I och IV. Båda svaren ligger där. ✓
Svar
$v \approx 48{,}2^\circ$ och $v \approx 311{,}8^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska ekvationer →
Lös $4\sin v + 3 = 0$. Ange alla lösningar, avrundade till en decimal.
Ledtråd
Räknaren kommer att ge en negativ vinkel. Den är rätt. Hitta sedan den andra familjen med $180^\circ - v_1$.
$\sin v = -\tfrac{3}{4}$, och $v_1 = \arcsin(-0{,}75) \approx -48{,}6^\circ$.
Andra familjen: $180^\circ - (-48{,}6^\circ) = 228{,}6^\circ$.
Kontroll i figuren: $\sin v < 0$ under $x$-axeln. $-48{,}6^\circ$ ligger i kvadrant IV och $228{,}6^\circ$ i kvadrant III. ✓
Svar
$v \approx -48{,}6^\circ + n \cdot 360^\circ$ och $v \approx 228{,}6^\circ + n \cdot 360^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska ekvationer →
Symmetrier och exakta värden
Läs teorin: 5. Symmetrier och exakta värden →Det är känt att $\sin 20^\circ \approx 0{,}342$. Bestäm utan räknare
a) $\cos 70^\circ$ b) $\sin 160^\circ$ c) $\sin 200^\circ$ d) $\cos 110^\circ$
Ledtråd
Rita varje vinkel och leta efter en spegling som tar den till $20^\circ$.
a) $70^\circ = 90^\circ - 20^\circ$, så $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ \approx 0{,}342$.
b) $160^\circ = 180^\circ - 20^\circ$: spegling i $y$-axeln behåller höjden. $\approx 0{,}342$.
c) $200^\circ = 180^\circ + 20^\circ$: spegling i origo byter tecken. $\approx -0{,}342$.
d) $110^\circ = 90^\circ + 20^\circ$. Punkten ligger i andra kvadranten, $20^\circ$ till vänster om $y$-axeln, så $x = -\sin 20^\circ \approx -0{,}342$.
Svar
a) $0{,}342$ b) $0{,}342$ c) $-0{,}342$ d) $-0{,}342$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Symmetrier och exakta värden →
Förenkla uttrycket $$\sin(180^\circ - v) + \sin(180^\circ + v) + \cos(-v) - \cos(180^\circ - v)$$
Ledtråd
Byt ut varje term med en symmetri. Tänk på vad varje spegling gör med tecknet.
$\sin(180^\circ - v) = \sin v$ och $\sin(180^\circ + v) = -\sin v$. De två första termerna tar ut varandra.
$\cos(-v) = \cos v$ och $\cos(180^\circ - v) = -\cos v$, så $\cos v - (-\cos v) = 2\cos v$.
Svar
$2\cos v$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Symmetrier och exakta värden →
Blandat, som på tentan
Här är avsnitten blandade, precis som på en tenta. Skriv lösningen på papper med motiveringar innan du tittar.
a) Bestäm det exakta värdet av $\cos 210^\circ$.
b) Lös ekvationen $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ för $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
c) Förklara varför ekvationen $\sin x = 1{,}2$ saknar lösning.
a) $210^\circ$ ligger i tredje kvadranten med referensvinkeln $30^\circ$. Där är $x < 0$: $\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
b) Referensvinkeln är $60^\circ$ och $\sin x < 0$, alltså kvadrant III och IV: $x = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$ och $x = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.
c) $\sin x$ är $y$-koordinaten för en punkt på enhetscirkeln, och den ligger alltid mellan $-1$ och $1$.
Svar
a) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ b) $240^\circ$ och $300^\circ$
Hur gick det?
Fastnat? Läs 5. Symmetrier och exakta värden →
Punkten $P$ ligger på enhetscirkeln i andra kvadranten och har $y$-koordinaten $\dfrac{5}{13}$. Bestäm $x$-koordinaten, $\tan v$ och vinkeln $v$ (en decimal), där $v$ är vinkeln mellan $0^\circ$ och $360^\circ$ som hör till $P$.
$x^2 = 1 - \left(\tfrac{5}{13}\right)^2 = \tfrac{144}{169}$, och i andra kvadranten är $x < 0$: $x = -\tfrac{12}{13}$.
$\tan v = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5/13}{-12/13} = -\dfrac{5}{12}$.
$\arcsin \tfrac{5}{13} \approx 22{,}6^\circ$ ligger i första kvadranten. Speglingen i $y$-axeln ger $v = 180^\circ - 22{,}6^\circ = 157{,}4^\circ$.
Svar
$x = -\tfrac{12}{13}$, $\tan v = -\tfrac{5}{12}$, $v \approx 157{,}4^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 2. Enhetscirkeln →
Lös ekvationen $\cos(v - 30^\circ) = \dfrac{1}{2}$ för $0^\circ \le v \le 360^\circ$.
Ledtråd
Låt $u = v - 30^\circ$ och lös $\cos u = \tfrac12$ först.
Med $u = v - 30^\circ$: $\cos u = \tfrac{1}{2}$ ger $u = \pm 60^\circ + n \cdot 360^\circ$.
Alltså $v = 90^\circ + n \cdot 360^\circ$ eller $v = -30^\circ + n \cdot 360^\circ$.
I intervallet: $v = 90^\circ$ och $v = -30^\circ + 360^\circ = 330^\circ$.
Kontroll: $\cos(90^\circ - 30^\circ) = \cos 60^\circ = \tfrac12$ ✓ och $\cos(330^\circ - 30^\circ) = \cos 300^\circ = \tfrac12$ ✓
Svar
$v = 90^\circ$ och $v = 330^\circ$.
Hur gick det?
Fastnat? Läs 4. Trigonometriska ekvationer →